Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре АА1, причем АМ:МА1=3:1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми MN и А1С.

Answer 1

Для упрощения записей примем, что куб АВСDА1В1С1D1 - единичный, то есть его сторона равна 1.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.
Значит MN и A1C - скрещивающиеся прямые.
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.
Проведем прямую СР параллельно прямой MN. Угол А1СР - искомый угол.
NA=√(АВ²+ВN²)=√(1+1/4)=√5/2 (по Пифагору).
NM=√(NA²+AM²)=√(5/4+9/16)=√29/4 (по Пифагору).
CP=NM=√29/4.
CA1=√(2+1)=√3 (диагональ куба).
А1Р=√(MA1²+MP²)=√(1/16+1/4)=√5/4.
По теореме косинусов:
Cosα=(CA1²+CP²-A1P²)/(2CA1*CP) или
Cosα=(3+29/16-5/16)/(2√3*√29/4)=(72/16)/(√87\2)=9/√87.
Ответ: Cosα=9/√87.

Второй вариант решения - координатный метод.
Пусть куб единичный, то есть сторона его "а"=1.
Начало координат в точке С(0;0;0).
Точка N(0;1/2;0), точка М(1;1;3/4), точка А1(1;1;1).
Тогда вектор MN{-1;-1/2;-3/4}, его модуль
|MN|=√(1+1/4+9/16)=√29/4.
Вектор А1С{-1;-1;-1}, |A1C|=√(1+1+1)=√3.
Cosα=(MN*A1C)/(|MN|*|A1C|) или
Cosα=(1+1/2+3/4)/(√87/4)=9/√87.
Ответ: Cosα=9/√87.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические свойства и теоремы. Давайте начнем с того, что определим координаты точек в пространстве.

Определение координат точек:

Пусть координаты точки A в пространстве заданы как (x, y, z). Тогда координаты точек B, C и D можно определить аналогично. Поскольку точка M лежит на ребре AA1, и АМ:МА1=3:1, то координаты точки M можно выразить как: \[ M(x_M, y_M, z_M) = \left(\frac{3x + x_1}{4}, \frac{3y + y_1}{4}, \frac{3z + z_1}{4}\right) \]

Точка N является серединой ребра BC, следовательно, её координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C: \[ N(x_N, y_N, z_N) = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2}\right) \]

Векторное уравнение прямых:

Для того чтобы найти косинус угла между прямыми MN и A1C, мы можем воспользоваться векторным уравнением прямых. Пусть \(\vec{MN}\) и \(\vec{A1C}\) - векторы, направленные по соответствующим прямым.

Нахождение векторов:

\[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} \] \[ \vec{A1C} = \vec{C} - \vec{A1} \]

Нахождение косинуса угла:

После нахождения векторов \(\vec{MN}\) и \(\vec{A1C}\), мы можем использовать их для нахождения косинуса угла между прямыми по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{A1C}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{A1C}|} \]

Где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(|\vec{MN}|\) и \(|\vec{A1C}|\) - их длины.

После нахождения косинуса угла \(\theta\) можно найти сам угол \( \theta \) в радианах или градусах.

Решение:

Давайте начнем с вычисления координат точек M и N, затем найдем векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{A1C}\), и, наконец, вычислим косинус угла между прямыми MN и A1C.