Question

б) Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны `7` и `sqrt(15)`(корень из 15). Найдите расстояние между серединами оснований. в) Углы при большем основании трапеции равны `61^@` и `29^@`. Точки `M` и `N` – середины оснований, точки `P` и `Q` – середины боковых сторон. Найдите основания трапеции, если `MN=4` и `PQ=7`.

Answer 1

Ответ: б)  4   в)  3  и   11

Объяснение:  б). Пусть трапеция АВСD .  Диагональ АС=√15 , диагональ BD=7.  О- точка пересечения диагоналей.   М- середина основания ВС, N- середина стороны AD .  Заметим, что MN проходит через точку О. В принципе это отдельная теорема, но мы будем считать ее известной.

Тогда ОМ это медиана прямоугольного треугольника ВОС.  И по свойству медианы,  проведенной из вершины прямого угла,  она равна половине гиптенузы.

То есть ОМ=ВС/2

Аналогично из треугольника AOD:  ON=AD/2

Тогда OM+ON=MN=(BC+AD)/2     (1)

Чтобы найти (BC+AD)/2,  найдем площадь трапеции ABCD.

Так как диагонали трапеции перпендикулярны друг другу, то

S(ABCD)=AC*BD/2=7*√15/2

С другой стороны S(ABCD)=(BC+AD)/2*h   (2)

, где h  высота трапеции.

Проведем отрезок СТ параллельный BD до пересечения с прямой AD.

Заметим, что искомая высота трапеции ABCD будет являться и высотой в треугольнике АСТ, проведенной из вершины С ( перпендикуляр между двумя параллельными прямыми).

Заметим что угол АСТ тоже прямой и треугольник АСТ прямоугольный.

Найдем гипотенузу АТ этого треугольника .

АТ=sqrt(AC²+CT²)=sqrt(15+49)=8

Тогда высота треугольника  АСТ  h= AC*CT/AC=7*√15/8

Теперь из формулы (2) найдем (BC+AD)/2:

(BC+AD)/2*h= 7*√15/2

(BC+AD)/2=7*√15/2/ (7*√15/8)=4

Из формулы (1)   MN= (BC+AD)/2 =4

в). Пусть трапеция АВСD .  Угол ∡А= 61°,  ∡D=29°.

Заметим, что PQ - средняя линия трапеции= (ВС+ AD)/2=7

=> BC+AD=14

Пусть ВС=х  AD=y

=>x+y=14   (1)

Проведем через точку М отрезок МК параллельный стороне АВ и МS параллельный стороне CD.   Точки К и S принадлежат отрезку АD.

Тогда в треугольнике КМS ∡К=∡А=61°, а ∡S=∡D=29°.

Тогда угол М треугольника КМР равен:

∡М=180°-61°-29°=90°

То есть треугольник КМS прямоугольный, где гипотенуза

КS= AD-BC=y-x

MN в этом треугольнике медиана, и по теореме о медиане в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

MN=4= (y-x)/2

y-x=8   (2)

Решая систему уравнений (1) и (2) получим х=3  у=11

Answer 2

а) Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а AC и BD - диагонали. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то они разделяют трапецию на 4 прямоугольных треугольника: ACD, BCD, ABC и ABD.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике диагональ равна корню из суммы квадратов его катетов. Применяя эту теорему к треугольникам ACD и BCD, получаем:

AC² = AD² + CD² BD² = AB² + CD²

Зная значения диагоналей и подставив, получаем два уравнения:

AC² = 7² + (sqrt(15))² = 49 + 15 = 64 BD² = AB² + 15

Так как AC² = BD² (так как диагонали равны), можно записать:

AB² + 15 = 64

Отсюда находим длину основания AB:

AB² = 64 - 15 = 49 AB = sqrt(49) = 7

Теперь, чтобы найти расстояние между серединами оснований, мы можем воспользоваться тем, что это половина суммы длин оснований:

Расстояние = (AB + CD) / 2 = (7 + 7) / 2 = 14 / 2 = 7.

Итак, расстояние между серединами оснований равно 7.

б) Для нахождения длин оснований трапеции воспользуемся информацией об углах и серединах боковых сторон.

Известно, что углы при большем и меньшем основаниях трапеции равны 61° и 29° соответственно. Поскольку трапеция ABCD не является прямоугольной, эти углы - это углы наклона к горизонтали.

Создадим координатную систему, где точка M (середина меньшего основания) будет иметь координаты (0, 0). Точка N (середина большего основания) будет иметь координаты (2x, 0), где x - длина меньшего основания MN.

Поскольку угол наклона большего основания к горизонтали составляет 61°, мы можем записать уравнение прямой через точки M и N:

y = x * tan(61°)

Аналогично, для точек P (середина боковой стороны) и Q (середина другой боковой стороны) можно записать уравнения:

y = 7 * tan(29°) y = -7 * tan(29°)

Где 7 - длина боковых сторон (PQ).

Найдем точку пересечения прямой через M и N с прямой через P и Q. Это даст нам координату x большего основания.

x * tan(61°) = 7 * tan(29°)

Отсюда находим x:

x = (7 * tan(29°)) / tan(61°)

Теперь, используя найденное значение x, можем найти большее основание AB:

AB = 2 * x

Обратите внимание, что все вычисления производятся в радианах.