Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 через середины ребер BC, B1c1 и точки м, м1, которые делят соответственно рёбра AD и A1DI в отношениях 3:1 проведена плоскость. Найти отношение объёмов меньшей части к большей части, на которые куб делится плоскостью

Answer 1

Ответ:  3:5

Объяснение:

Пусть середина ВС- точка Т, а середина В1С1- точка Т1.

Тогда плоскость ММ1Т1Т1 делит куб на две четыхугольные прямые призмы АВТМA1В1Т1М1 -обьем V1  и МТСDМ1Т1С1D1 - обьем  V2

Обьем прямой призмы ( общая формула) вычисляется как:

V= Sосн*H  ,  где  Sосн - площадь основания , Н - высота призмы.

Соответственно V1/V2= S1 осн*Н1/(S2 осн*Н2)

Поскольку фигура - куб , то Н1=Н2=а     а - длина стороны куба.

=> V1/V2= S1осн/S2осн

Рассмотрим четырехугольник АВТМ  

ВТ II  AM,   так как основание куба- квадрат.

Тогда  АВТМ - прямоугольная трапеция  со сторонами АВ=а=hтрап

ВТ=а/2   AM=a*3/4.   Тогда S(ABTM)= S1осн=(a/2+a*3/4)*a/2=a^2*5/8

Аналогично площадь трапеции S(DCTM)=S2осн=(1/2*a+1/4*a)*a=a^2*3/8

Очевидно теперь, что меньшая из призм это МТСDМ1Т1С1D1 ,

• то есть нужно найти V2/V1= S2осн/S1осн= a^2*3/8 : (a^2*5/8)=3:5

Answer 2

Чтобы найти отношение объёмов меньшей и большей частей куба, которые образуются плоскостью, нужно узнать, как плоскость делит рёбра куба и как она взаимодействует с его гранями.

Для начала, рассмотрим отношение деления ребра AD плоскостью. Точка м делит ребро AD в отношении 3:1. Это означает, что отрезок AM является 3/4 отрезка AD, а отрезок MD является 1/4 отрезка AD.

Аналогично, точка м1 делит ребро A1D1 в отношении 3:1. То есть, отрезок A1M1 является 3/4 отрезка A1D1, а отрезок M1D1 является 1/4 отрезка A1D1.

Теперь рассмотрим, как плоскость взаимодействует с гранями куба. Плоскость проходит через середины рёбер BC и B1C1. Поскольку эти рёбра делятся плоскостью пополам, они также делят грани куба, содержащие эти рёбра, пополам.

Итак, плоскость делит куб на 8 равных частей. Одна из этих частей является объёмом меньшей части куба, а семь оставшихся частей составляют объём большей части куба.

Таким образом, отношение объёмов меньшей части к большей части куба, на которые он делится плоскостью, составляет 1:7.