Question

В треугольнике АВС проведена медиана ВN и средняя линия КМ. О-их точка пересечения. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника ОMN?

Answer 1

Ответ:

=============================

Объяснение:

Answer 2

В треугольнике АВС проведена медиана ВN и средняя линия КМ. О-их точка пересечения. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника ОMN?

Объяснение:

Пусть S(ABC)=a

BN-медиана ⇒ S(ABN)=S(NBC) как имеющие равные основания и одинаковую высоту из точки В. S(ABN)=S(NBC)=1/2*а.

Т.к ВМ=МС ⇒ S(МВN)=S(МСN) как имеющие равные основания и одинаковую высоту из точки N . S(МВN)=S(МСN) =1/2*1/2*а=1/4*а.

KM║АС и М-середина ВС ⇒по т. Фалеса ВО=ОN .

Т.к ВО=ОN ⇒ S(ВМО)=S(ОМN) как имеющие равные основания и одинаковую высоту из точки М . S(ВМО)=S(ОМN) =1/2*1/4*а=1/8а.

Значит  S(ABC) составляет 1/8 часть от S(ABC).

Answer 3

Площадь треугольника, образованного точками O, M и N, можно рассмотреть с точки зрения отношения площадей. Давайте обозначим площади треугольников следующим образом:

• Площадь треугольника АВС: S(ABC)
• Площадь треугольника ОМН: S(OMN)
• Площадь треугольника АВМ: S(ABM)
• Площадь треугольника АНС: S(ANC)

Сначала давайте рассмотрим треугольник АВМ. Так как М - середина стороны АС, а К - середина стороны ВС, то треугольники АМК и АНК являются подобными треугольниками по принципу средней линии в треугольнике. Таким образом, отношение площадей треугольников АНК и АМК равно отношению квадратов сторон АС и ВС:

S(ANC) / S(AMK) = AC^2 / BC^2

Теперь обратим внимание на треугольники АВС и АНК. Площадь треугольника АНК равна половине площади треугольника АВС:

S(ANC) = 0.5 * S(ABC)

Используя это значение и соотношение площадей АНК и АМК, мы можем записать:

0.5 * S(ABC) / S(AMK) = AC^2 / BC^2

Следовательно,

S(ABC) / S(AMK) = 2 * AC^2 / BC^2

Аналогично, для треугольника ОМН:

S(OMN) / S(AMK) = AO^2 / BO^2

Так как AO = BO (точка O - точка пересечения медиан), то AO^2 = BO^2, и отношение площадей равно 1:

S(OMN) / S(AMK) = 1

Теперь мы можем сравнить отношение площадей треугольников ОМН и АВС:

S(OMN) / S(ABC) = (S(OMN) / S(AMK)) * (S(AMK) / S(ABC)) = 1 * (2 * AC^2 / BC^2) = 2 * AC^2 / BC^2

Итак, площадь треугольника ОМН составляет 2 * AC^2 / BC^2 часть площади треугольника АВС.