Question

Дано: треугольник ABC- прямомоугольный , угал C = 90° , AK - биссектриса , AK =20см , угал AKB =120° . Найти :d(K,AB) Помогите пожалуйста!​

Answer 1

Ответ на фотографии////

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов в треугольнике AKB, где AK - биссектриса угла AKB.

Теорема синусов гласит: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)},$

где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - соответствующие противолежащие углы.

В данном случае у нас треугольник AKB, где:

• a = AK = 20 см,
• B = угол AKB = 120°,
• b = KB (нам нужно найти эту сторону),
• A = угол AKB (это половина угла C, так как AK - биссектриса).

Сначала найдем угол AKB: $A = \frac{C}{2} = \frac{90°}{2} = 45°.$

Теперь, используя теорему синусов для треугольника AKB: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}.$

Подставляем известные значения: $\frac{20}{\sin(45°)} = \frac{b}{\sin(120°)}.$

Решаем уравнение относительно b: $b = \frac{20 \cdot \sin(120°)}{\sin(45°)}.$

Вычислим значения синусов: $\sin(120°) ≈ 0.866 \quad \text{(округленное значение)},$ $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} ≈ 0.7071 \quad \text{(округленное значение)}.$

Теперь подставляем и рассчитываем значение b: $b ≈ \frac{20 \cdot 0.866}{0.7071} ≈ 24.54.$

Итак, сторона KB треугольника AKB примерно равна 24.54 см.

Чтобы найти расстояние d(K, AB), мы можем воспользоваться теоремой о высоте в прямоугольном треугольнике. В данном случае, точка K - это точка пересечения биссектрисы AK и гипотенузы AB. Так как треугольник ABC - прямоугольный, точка K также является вершиной прямого угла.

Теперь мы видим, что треугольник AKD - это равнобедренный прямоугольный треугольник (поскольку угол AKD = угол AKB = 120°). Из свойств равнобедренных треугольников следует, что высота, проведенная из вершины прямого угла (точка K) к гипотенузе (сторона AB), также является медианой и биссектрисой этого треугольника. Таким образом, она делит гипотенузу пополам.

Расстояние d(K, AB) будет половиной гипотенузы AKD, то есть: $d(K, AB) = \frac{KD}{2}.$

Нам уже известно, что сторона AK = 20 см. Так как треугольник AKD - равнобедренный, то сторона KD тоже равна 20 см.

Теперь можем вычислить расстояние: $d(K, AB) = \frac{KD}{2} = \frac{20}{2} = 10 \ \text{см}.$

Итак, расстояние d(K, AB) равно 10 см.