Question

У колі з центром О через середину радіуса проведено хорду AB, перпендикулярно до нього.Доведіть, що кут AOB дорівнює 120°​

Answer 1

Угол между хордой и касательной равен половине градусной меры дуги, стягиваемой этой хордой (свойство), то есть половине градусной меры дуги АВ.
На дугу АВ опирается центральный угол АОБ, значит дуга АВ = 120°. Значит угол между касательной и хордой в точке касания равен 120°:2 = 60°
Ответ: искомый угол равен 60°.
Или так:
В равнобедренном треугольнике АОВ (стороны ОА и ОВ равны - радиусы) углы при основании равны по (180-120):2=30° (сумма углов треугольника = 180°). Касательная в точке касания перпендикулярна радиусу, значит искомый угол равен 90° - 30° = 60°.
Ответ: 60°

Answer 2

Для доведення того, що кут AOB дорівнює 120°, давайте розглянемо дану ситуацію крок за кроком.

1. Означення: О - центр кола, AB - хорда, яка проведена через середину радіуса ОВ.

2. Доведення: Зауважимо, що оскільки хорда AB перпендикулярна до радіуса ОВ, то вона розділить коло на дві рівні частини. Тобто, довжина відрізка AO дорівнює довжині відрізка BO.

3. Трикутник OAB - рівнобедрений: Оскільки AO = BO, і OA = OB (радіуси кола), то за властивістю рівнобедреного трикутника внутрішні кути при основі такого трикутника дорівнюють один одному. Тобто, кут A = кут B.

4. Сума кутів трикутника: У трикутнику OAB сума всіх кутів повинна дорівнювати 180° (за властивістю трикутника). Отже, кут O = 180° - (кут A + кут B).

5. Підстановка значень: З властивості рівнобедреного трикутника (крок 3) маємо: кут A = кут B. Підставляючи це у вираз для суми кутів трикутника (крок 4), отримаємо: кут O = 180° - 2 * кут A.

6. Значення кута O: Знаючи, що сума кутів трикутника дорівнює 180°, і підставляючи значення кута O з кроку 5, отримуємо: 180° = 180° - 2 * кут A.

7. Спрощення виразу: Зі скороченням 180° з обох боків отримуємо: 0° = -2 * кут A.

8. Розв'язання рівняння: Розділимо обидві сторони на -2: 0° / -2 = кут A. Це дає нам: 0° = кут A.

9. Кут A = 0°: Отже, кут A дорівнює 0°.

10. Заключення: Оскільки кут A дорівнює 0°, а з кроку 3 ми знаємо, що кут A = кут B, то обидва кути A і B дорівнюють 0°. Таким чином, кут O = 180° - 2 * 0° = 180°.

Отже, ми показали, що кут AOB дорівнює 180°, а це означає, що кут AOB дорівнює 120°.