Question

50 БАЛІВ, СРОЧНО! Знайдіть кути трикутника з вершинами А (0;√3), В (2;√3), С (⅔;√3/2). ЗА ВІДПОВІДЬ НЕ В ТЕМУ — Видалення

Answer 1

Находим длины сторон.

Длины сторон и векторы      

АВ  ВС  АС  

Δx Δy Δx Δy Δx Δy

2 0 -1,333333333 -0,866025404 0,666666667 -0,866025404

4 0 1,777777778 0,75 0,444444444 0,75

4  2,527777778  1,194444444

АВ (c) = 2 ВС(a)  = 1,589898669 АС (b) = 1,092906421 .

По теореме косинусов находим углы.

cos A = 0,609994281 A = 0,914742953 радиан 52,41091053 градусов

cos B = 0,838627869 B = 0,576037046 радиан 33,0044916 градусов

cos C = -0,079930969 C = 1,650812655 радиан 94,58459787 градусов .

Answer 2

Для того щоб знайти кути трикутника, ми можемо використати координати вершин та формули для обчислення кутів між векторами. Трикутник ABC має сторони AB, AC та BC. Ми можемо знайти ці вектори, а потім використати формулу для обчислення кута між векторами:

Формула для обчислення кута між векторами:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}}{{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}}$

де $\mathbf{u}$ і $\mathbf{v}$ - вектори, $\cdot$ - скалярний добуток векторів, $\|\mathbf{u}\|$ і $\|\mathbf{v}\|$ - їхні довжини.

Спочатку знайдемо вектори AB та AC:

$\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 2 - 0 \\ \sqrt{3} - \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\mathbf{AC} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} - 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

Тепер знайдемо скалярний добуток цих векторів:

$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = 2 \cdot \frac{2}{3} + 0 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{4}{3}$

Знайдемо довжини векторів AB та AC:

$\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$

$\|\mathbf{AC}\| = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{13}}{3}$

Підставляючи ці значення в формулу для косинуса кута між векторами, отримаємо:

$\cos(\theta) = \frac{\frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$

Тепер можна знайти значення кута $\theta$ за допомогою оберненого косинуса:

$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)$

Це дає нам приблизне значення кута $\theta \approx 60.89^\circ$.

Оскільки трикутник ABC розташований на площині, сума всіх його кутів повинна дорівнювати $180^\circ$. Таким чином, знаючи один із кутів (внутрішній кут біля вершини A), ми можемо знайти інші два кути:

$\text{Кут B} = 180^\circ - \text{Кут } \theta - \text{Кут C}$

$\text{Кут C} = 180^\circ - \text{Кут } \theta - \text{Кут B}$

Підставляючи значення $\theta$ в ці формули, ми можемо знайти кути B та C.