Question

Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из этой же вершины.

Answer 1

Ответ:

=================================

Объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим данное утверждение следующим образом:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $\angle ACB$, где $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой, пусть $BD$ — биссектриса прямого угла $B$, $BE$ — медиана, проведенная из вершины $B$, и $BF$ — высота, проведенная из вершины $B$.

Нам нужно доказать, что угол $\angle DBE$ равен углу $\angle DBF$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $BCD$. Поскольку $\angle BCD$ — половина прямого угла, а $\angle BDC$ тоже является прямым углом, то треугольник $BCD$ является прямоугольным с углом $\angle BDC = \angle BCD = \frac{1}{2}\angle ACB$.

2. Так как $\angle BCD = \angle BCE$ по построению (биссектриса делит противолежащий угол пополам), треугольники $BCD$ и $BCE$ имеют равные углы и общую сторону $BC$, следовательно, они подобны.

3. По свойству подобных треугольников, отношение длин смежных сторон равно отношению длин противолежащих углов. Так как $BD$ — биссектриса, то $\frac{CD}{CE} = \frac{BD}{BE}$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $BFD$. Так как $BF$ — высота, то $\angle FBD = \angle CBD$.

5. Также, поскольку треугольники $BCD$ и $BFD$ имеют общую сторону $BD$ и равные углы $\angle CBD = \angle FBD$, они также подобны.

6. Следовательно, $\frac{BD}{BE} = \frac{BF}{BD}$.

7. Из равенства $\frac{BD}{BE} = \frac{BF}{BD}$ следует, что $BD^2 = BE \cdot BF$.

8. Так как $BD$ — биссектриса и $BE$ — медиана, то согласно свойствам биссектрисы и медианы в треугольнике, $BD^2 = AC \cdot CE$ и $BE^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$.

9. Подставим это в предыдущее равенство: $AC \cdot CE = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$.

10. Поскольку треугольник прямоугольный, $BC^2 = AB^2 + AC^2$, следовательно, $AC \cdot CE = AB^2$.

11. Это означает, что $\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{CE}$, а следовательно, $\angle ABE = \angle ACB$.

12. Так как $\angle ABE = \angle DBE$ и $\angle ACB = \angle DBF$, мы доказали, что угол $\angle DBE$ равен углу $\angle DBF$.

Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла действительно делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из этой же вершины.