Question

Задача. Даны вершины треугольника A(−2,1),B(3,3),С(1,0). Найти: а) длину стороны AB; б) уравнение медианы BM; в) cos угла BCA; г) уравнение высоты CD; д) длину высоты СD; е) площадь треугольника АВС.

Answer 1

Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:

а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.

б) уравнение медианы BM.  

Находим координаты точки М как середины стороны АС.

М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).

Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).

Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.

Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.

И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).

в) cos угла BCA.  

Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.

Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.

cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.

г) уравнение высоты CD.

Находим уравнение стороны АВ.

Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).

Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).

Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.

0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.  

Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).

д) длина высоты СD.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2

Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:  

2х – 5у + 9 = 0.

d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =

= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.

е) площадь треугольника АВС по векторам.

Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:

S= ± (1 /2) *(x1−x3       y1−y3 )

                       (x2−x3      y2−y3 )  

       

 x1−x3       y1−y3  

        x2−x3      y2−y3    

A(−2,1), B(3,3), С(1,0).

S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.  

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи по порядку:

а) Длина стороны AB:

Для нахождения длины стороны AB можно использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

Длина AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Где (x1, y1) = A(-2, 1) и (x2, y2) = B(3, 3):

Длина AB = √((3 - (-2))^2 + (3 - 1)^2) = √(5^2 + 2^2) = √29

б) Уравнение медианы BM:

Медиана BM проходит через вершину B и середину стороны AC. Для нахождения уравнения медианы, найдем координаты середины стороны AC:

Середина AC: (x, y) = ((x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2) = ((-2 + 1) / 2, (1 + 0) / 2) = (-0.5, 0.5)

Уравнение медианы BM можно найти, используя точку B(3, 3) и точку на медиане (-0.5, 0.5). Угловой коэффициент медианы равен отношению изменения y к изменению x:

Угловой коэффициент = (0.5 - 3) / (-0.5 - 3) = -0.5

Уравнение медианы BM: y - y1 = m(x - x1), где m = -0.5 и (x1, y1) = B(3, 3):

y - 3 = -0.5(x - 3)

в) cos угла BCA:

Используем теорему косинусов:

cos(BCA) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)

AB = √29 (из пункта а) AC = Расстояние между точками A и C = √((-2 - 1)^2 + (1 - 0)^2) = √10 BC = Длина стороны BC = √((3 - 1)^2 + (3 - 0)^2) = √13

cos(BCA) = (29 + 10 - 13) / (2 * √29 * √10)

б) Уравнение высоты CD:

Высота CD проведена из вершины C и перпендикулярна стороне AB. Её уравнение будет иметь вид x = const, где x - координата точки C.

x = 1

г) Длина высоты CD:

Длина высоты можно найти, используя площадь треугольника и длину основания:

Площадь треугольника ABC = 0.5 * AB * CD

CD = (2 * Площадь треугольника ABC) / AB

Площадь треугольника ABC можно найти используя формулу Герона для вычисления площади треугольника по длинам его сторон:

s = (AB + AC + BC) / 2 = (√29 + √10 + √13) / 2

Площадь треугольника ABC = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC))

CD = (2 * √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC))) / AB

е) Площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника ABC = 0.5 * AB * CD

С учетом вычисленных значений:

Площадь треугольника ABC = 0.5 * √29 * CD

Подставив вычисленное значение CD:

Площадь треугольника ABC = 0.5 * √29 * (2 * √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC))) / AB

Обратите внимание, что некоторые значения можно упростить, и если вы хотите получить численные ответы, вам следует подставить числовые значения вместо символов (как √29, √10 и т.д.).