Question

Доведіть, що ѕіn 45° = cos 45°.

Answer 1

Самое простое доказательство:

$sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2} }{2}$ (табличное значение)

$cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2} }{2}$ (табличное значение)

$\frac{\sqrt{2} }{2} = \frac{\sqrt{2} }{2} \Rightarrow sin(45^\circ) = cos(45^\circ)$

Нормально геометрическое доказательство:

См. Рисунок.

Согласно определению $sin(45^\circ) = OC$, a $cos(45^\circ) = OB$

В ΔOAB ∠OAB = 180° - 90° = 45°, значит ΔOAB - равнобедренный с основанием OA.

В ΔOAC ∠OAC = 180° - 90° = 45°, значит ΔOAC - равнобедренный с основанием OA.

ΔOAB =  ΔOAC по стороне и двум углам. (OA - общая).

Следовательно OC = OB

Значит $sin(45^\circ) = cos(45^\circ)$

============  

Не забывайте нажать "Спасибо", поставить оценку и, если ответ удовлетворил, то выберите его как "Лучший"

Успехов в учебе

Answer 2

Ми знаємо, що $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ та $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Давайте докажемо рівність $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ$ за допомогою трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник з кутами $45^\circ$, $45^\circ$ та $90^\circ$. Оскільки сума кутів в трикутнику дорівнює $180^\circ$, то другий кут має також $45^\circ$.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику сторона, прилегла до $45^\circ$ кута, має таку ж довжину, як гіпотенуза поділена на $\sqrt{2}$:

$a^2 + a^2 = c^2$ $2a^2 = c^2$ $a^2 = \frac{c^2}{2}$ $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$

Це означає, що протилежна сторона до $45^\circ$ кута також має довжину $\frac{c}{\sqrt{2}}$.

Отже, в цьому трикутнику протилежна та прилегла сторони до $45^\circ$ кутів мають однакову довжину, що підтверджує рівність $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \frac{a}{c} = \frac{\frac{c}{\sqrt{2}}}{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos 45^\circ = \frac{a}{c} = \frac{\frac{c}{\sqrt{2}}}{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Отже, ми показали, що $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ$.