Question

Меньшая сторона прямоугольника равна 20, диагонали пересекаются под углом 60. Найдите диагонали прямоугольника​

Answer 1

Ответ:

1 диагональ 40 см, 2 диагонали 80 см.

Answer 2

Обозначим длину большей стороны прямоугольника как $a$ и длину меньшей стороны как $b$. Также обозначим длины диагоналей как $d_1$ и $d_2$.

Известно, что меньшая сторона прямоугольника $b = 20$.

Для начала, мы можем найти длину большей стороны $a$. Мы знаем, что диагонали пересекаются под углом 60 градусов. Это означает, что прямоугольник делится на два равнобедренных треугольника, и угол между одной из диагоналей и более короткой стороной прямоугольника равен 30 градусам.

Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины большей стороны $a$. Рассмотрим половину более короткой стороны $b/2 = 10$. В этом случае, мы имеем противолежащий катет (половину длины диагонали) и прилежащий катет (половину длины большей стороны), а угол между ними составляет 30 градусов. Таким образом, мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенс:

$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

$\frac{10}{a/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$a = \frac{20}{\sqrt{3}}$

Теперь, чтобы найти длину диагоналей, мы можем использовать теорему Пифагора для каждой диагонали:

$d_1^2 = a^2 + b^2$ $d_2^2 = a^2 + b^2$

Подставляем $b = 20$ и $a = \frac{20}{\sqrt{3}}$:

$d_1^2 = \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 + 20^2$ $d_2^2 = \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 + 20^2$

Вычисляем:

$d_1 = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11.54$ $d_2 = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11.54$

Таким образом, длины диагоналей прямоугольника примерно равны 11.54 единицам.