Question

79. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом 120°, равен 8/3 см. Найдите стороны треугольника.

Answer 1

Ответ:

По теореме синусов сторона против угла в 120°

x/sin(120°) = 2R

x = 2R*sin(120°) = 2*8√3*√3/2 = 8*3 = 24 см

Углы при основании треугольника

(180 - 120)/2 = 30°

И снова теорема синусов

y = 2R*sin(30°) = 2*8√3*1/2 = 8√3 см

Объяснение:

Answer 2

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC и угол BAC = 120°. Также, пусть R - радиус описанной окружности этого треугольника.

Известно, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины угла в основание, является биссектрисой и высотой. В данном случае медиана также является высотой, биссектрисой и медианой, так как треугольник равнобедренный.

Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника и образует прямоугольный треугольник с половиной основания равным R, а высотой, проведенной из вершины угла, равной одной из ног медианы.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике:

(Половина основания)^2 + (Высота)^2 = (Гипотенуза)^2

В данном случае гипотенуза - это радиус описанной окружности R, половина основания - это AB/2, а высота - это высота треугольника из вершины угла. Подставим известные значения:

(AB/2)^2 + (Высота)^2 = R^2

(AB/2)^2 + (AB * √3 / 2)^2 = (8/3)^2

AB^2 / 4 + 3 * AB^2 / 4 = 64 / 9

4 * AB^2 / 4 = 64 / 9

AB^2 = 64 / 9

AB = √(64 / 9)

AB = 8 / 3 см

Таким образом, сторона треугольника AB (или AC) также равна 8/3 см.