Question

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC . Также известно, что в ABCDможно вписать окружность.а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD , если AC = 26 и BD =10.Срочно. ​

Answer 1

Ответ:

а) Доказано; б) $\dfrac{5\sqrt{26}}{6}$.

Объяснение:

а)

Пусть AB=b, BC=a, DC=n, AD=m.

Понятно, что ΔADC и ΔABC прямоугольные (AC - диаметр окружности по условию)

Из теоремы Пифагора и условия вписанности окружности в четырехугольник следует:

$\begin{equation*} \begin{cases} a^2+b^2=n^2+m^2 \\ a+m=b+n \end{cases}\end{equation*}$

Рассмотрим вторую строку системы:

$a+m=b+n\\(a+m)^2=(b+n)^2\\a^2+2am+m^2=b^2+2bn+n^2\\a^2-b^2+2am=n^2-m^2+2bn$

Выполним сложение первой строки исходной системы и полученной:

$2a^2+2am=2n^2+2bn\\a^2+am=n^2+bn\\a(a+m)=n(b+n)$

Теперь заметим, что из 2-ой строки исходной системы $a+m=b+n$.

Тогда:

$a(a+m)=n(a+m)\\a=n$

Соответственно и $b=m$.

Значит ΔDBC и ΔDAB равнобедренные.

Пусть в ΔDAB ∠DAO=α и ∠BAO=β. Тогда ∠ADB=90°-β, а ∠ABD=90°-α.

Но ∠ADB=∠ABD => α=β. Значит AO - биссектриса ∠DAB, а => и высота (ΔDAB равнобедренный) => AC⊥BD.

Доказано!

б)

Понятно, что искать радиус будем, записав формулу площади исходного четырехугольника двумя способами, т.е:

$S=\dfrac{1}{2}\times AC\times BD\\\\S=p\times r\\\\=>r=\dfrac{AC\times BD}{2p}$

Здесь в 1-ой формуле sin90°=1.

$p=\dfrac{m+n+a+b}{2}=n+m$

По теореме Пифагора:

$AC^2=n^2+m^2\\AC^2=(n+m)^2-2mn$

Но высота треугольника DAC:

$DO=\dfrac{mn}{AC},\;=>\;mn=\dfrac{BD\times AC}{2}$

Тогда:

$AC^2=(n+m)^2-BD\times AC\\=>m+n=6\sqrt{26}$

Итого:

$r=\dfrac{26\times 10}{2\times6\sqrt{26}}=\dfrac{5\sqrt{26}}{6}$

Задание выполнено!

Answer 2

а) Докажем, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

Поскольку в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, это означает, что противоположные углы суммы по 180°. Обозначим угол BAC как α, угол BCD как β, угол CDA как γ и угол DAB как δ.

Из условия о вписанной окружности четырёхугольника ACBD следует, что угол CBA равен углу CDA (угол при одной и той же дуге AC окружности). Таким образом, угол CBA также равен γ.

Аналогично, угол ADC равен углу BCD (угол при одной и той же дуге BD окружности). Таким образом, угол ADC равен β.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC равен α, угол CBA равен γ, и угол ACB равен 180° - (α + γ), так как сумма углов треугольника равна 180°.

Аналогично, рассмотрим треугольник ACD. Угол ADC равен β, угол CDA равен γ, и угол ACD равен 180° - (β + γ).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то получаем:

180° - (α + γ) + 180° - (β + γ) = 180°.

Упростив это уравнение, получаем:

360° - (α + β + 2γ) = 180°, 180° - (α + β + 2γ) = 0, α + β + 2γ = 180°.

Из этого следует, что α + β = 180° - 2γ.

С другой стороны, у нас также есть уравнение, связывающее углы α и β:

α + β = 180° - γ.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

α + β = 180° - 2γ, α + β = 180° - γ.

Из этих уравнений следует, что:

180° - 2γ = 180° - γ, -2γ = -γ, γ = 0.

Это означает, что угол CDA равен 0°, то есть отрезки AC и BD являются продолжения диагоналей четырёхугольника ACBD.

Отсюда следует, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б) Для нахождения радиуса вписанной окружности четырёхугольника ABCD можно воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности в четырёхугольнике:

$r = \sqrt{\frac{(s - AB)(s - BC)(s - CD)(s - DA)}{s}},$

где $s$ - полупериметр четырёхугольника, $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ - длины его сторон.

Для данного четырёхугольника ACBD у нас есть диагонали AC и BD. Поэтому можно использовать полупериметр $s = \frac{AC + BD + AB + CD}{2}$.

Подставляя значения AC = 26, BD = 10, и оставшиеся стороны (AB, CD), можно вычислить $r$. В данном случае $AB$ и $CD$ нам неизвестны, поэтому конкретное значение радиуса вписанной окружности нельзя найти без дополнительных данных о четырёхугольнике (например, дополнительных сторон или угловых мер).

Если у вас есть дополнительные данные о сторонах или углах четырёхугольника, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли продолжить расчеты.