Question

Точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р. а) Докажите, что точка Р является центром окружности, описанной около треугольника АОС. б) Найдите расстояние от точки Р до прямой АС, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 14, угол АВС = 60

Answer 1

a) Центр вписанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис.

AOP =BAO+ABO =A/2 +B/2 (внешний угол AOB)

CAP =CBP =B/2 (вписанные)

OAP =CAO +CAP =A/2 +B/2 =AOP

△APO - равнобедренный, PA=PO

Аналогично PC=PO

б) Центр T описанной окружности △APC лежит на серединном перпендикуляре к AC.

ATP =2ABP =B =60

△ATP - равнобедренный (TA=TP) с углом 60 - равносторонний.

AH - высота и медиана, PH =TP/2 =14/2 =7

Answer 2

а) Чтобы доказать, что точка Р является центром окружности, описанной около треугольника АОС, нужно показать, что отрезок РА равен отрезку РС. Для этого используем следующее свойство: если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение длин отрезков каждой из хорд равно.

Пусть $r$ - радиус описанной около треугольника АВС окружности, $R$ - радиус описанной около треугольника АОС окружности.

Согласно свойству хорд, $|RB| \cdot |RO| = |RA| \cdot |RC|$.

Так как точка $О$ - центр вписанной в треугольник АВС окружности, то длины отрезков $|OA| = |OB| = |OC| = r$.

Также известно, что точка $О$ - центр описанной около треугольника АОС окружности, поэтому $|OA| = |OS| = R$.

Подставляя все значения, получаем: $r \cdot |RO| = r \cdot |RC|.$

Сокращая на $r$, получаем $|RO| = |RC|$, что означает, что точка $Р$ является центром окружности, описанной около треугольника АОС.

б) Рассмотрим треугольник АРС. Угол АРС равен половине угла ВАС (углу ВАС соответствует хорда АС), так как дуга ВС - это удвоенная дуга АР.

Таким образом, угол АРС равен $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Так как у нас дан радиус $R$ описанной около треугольника АОС окружности, мы можем использовать тригонометрическую формулу для нахождения высоты треугольника АРС: $h = R \cdot \sin(\angle APS) = R \cdot \sin(30^\circ) = \frac{R}{2}.$

Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения расстояния от точки Р до прямой АС: $|PR| = 2h = 2 \cdot \frac{R}{2} = R.$

Таким образом, расстояние от точки Р до прямой АС равно радиусу описанной около треугольника АОС окружности, то есть $R$. Подставив $R = 14$, получаем, что расстояние равно 14.