Question

в параллелограмме ABCD угол A равен 60 градусов Высота высота BH делит сторону AD на две равные части Найдите длину диагонали BD если периметр параллелограмма равен 48 см​

Answer 1

Ответ: Громоздко, можно решить покороче, но верно

Answer 2

Пусть сторона параллелограмма AB имеет длину a см, и высота BH делит сторону AD на две равные части, поэтому отрезки AH и HD также равны.

Сначала найдем длину стороны AB. Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то сторона AB также равна a см.

У нас есть угол A равный 60 градусов, и высота BH является биссектрисой угла A. Это означает, что треугольник ABH является равносторонним треугольником.

Теперь мы можем выразить высоту BH через сторону AB (a): $BH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB$

Высота BH также является биссектрисой угла B параллелограмма. Это означает, что треугольник BCH также является равносторонним треугольником.

Мы знаем, что периметр параллелограмма равен 48 см: $2 \cdot (AB + BC) = 48$ $AB + BC = 24$

Так как треугольник BCH равносторонний, то: $BC = BH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB$

Теперь подставим это значение BC обратно в уравнение: $AB + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB = 24$ $\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot AB = 24$ $AB = \frac{24}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}$ $AB = \frac{48}{2 + \sqrt{3}}$ $AB = \frac{48 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) \cdot (2 - \sqrt{3})}$ $AB = \frac{48 \cdot (2 - \sqrt{3})}{1}$ $AB = 48 \cdot (2 - \sqrt{3})$

Теперь у нас есть длина стороны AB. Диагональ BD является диагональю параллелограмма ABCD и также является гипотенузой прямоугольного треугольника ABD.

$BD^2 = AB^2 + AD^2$ $BD^2 = (48 \cdot (2 - \sqrt{3}))^2 + 2 \cdot (48 \cdot (2 - \sqrt{3}))^2$ $BD^2 = 2304 \cdot (2 - \sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2304 \cdot (2 - \sqrt{3})^2$ $BD^2 = 2304 \cdot (2 - \sqrt{3})^2 \cdot (1 + 2)$ $BD^2 = 2304 \cdot 3 \cdot (2 - \sqrt{3})^2$ $BD^2 = 6912 \cdot (2 - \sqrt{3})^2$