Question

6. Средняя линия трапеции ABCD делит ее на две трапеции, средние линии которых равны 13 cm и 17 cm. Найдите большее основаниетрапеции.​

Answer 1

Пусть верхнее основание равно х, нижнее у.

Средняя линия равна (х +у )/2.

Находим условия средних линий для половин трапеции.

(х + ((х +у )/2) / 2 = 13.

(у + ((х +у )/2) / 2 = 17.

Приведём к общему знаменателю.

3х + у = 13*4.

3у + х = 17*4.

Решим эту систему методом подстановки.

Из первого уравнения у = 52 - 3х подставим во второе.

3*(52 - 3х) + х = 68.

156 - 9х + х = 68.

8х = 88,

х = 88/8 = 11 см. Находим у = 52 - 3х = 52 - 3*11 = 19 см.

Ответ: основания равны 11 и 19 см.

Answer 2

Обозначим через $AB$ и $CD$ основания большей трапеции $ABCD$, а через $E$ и $F$ точки пересечения средних линий. Так как средние линии трапеции параллельны и равными длинами, то $EF$ является средней линией меньшей трапеции.

Поскольку средние линии меньшей трапеции имеют длины 13 см и 17 см, мы можем обозначить $EF = 13$ и $GF = 17$, где $G$ - середина большей стороны $CD$.

Так как $EF$ и $GF$ это средние линии трапеции, они равны полусуммам оснований той трапеции, для которой они являются средними линиями. Таким образом, мы можем записать:

$$EF = \frac{AB + CD}{2}$$

$$GF = \frac{BC + AD}{2}$$

Из данных условий известно, что $EF = 13$ и $GF = 17$.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник $GFE$. У него известны две стороны ($GF$ и $EF$) и угол между ними (так как $GF$ и $EF$ параллельны, угол $GFE$ равен углу между параллельными прямыми и поэтому равен $180^\circ$).

С помощью закона косинусов можно найти третью сторону $GE$:

$$GE^2 = GF^2 + EF^2 - 2 \cdot GF \cdot EF \cdot \cos(\angle GFE)$$

Так как $\angle GFE = 180^\circ$, $\cos(\angle GFE) = -1$, и уравнение упрощается:

$$GE^2 = GF^2 + EF^2 + 2 \cdot GF \cdot EF$$

$$GE^2 = 17^2 + 13^2 + 2 \cdot 17 \cdot 13$$

$$GE^2 = 289 + 169 + 442$$

$$GE^2 = 900$$

$$GE = 30$$

Теперь у нас есть сторона $GE$ меньшей трапеции, которая также является высотой большей трапеции $ABCD$.

Высота $GE$ образует прямоугольный треугольник $AGE$ с $GA$ и $AE$ (половина основания $AB$) в качестве катетов. Мы можем использовать теорему Пифагора:

$$GA^2 + AE^2 = GE^2$$

$$GA^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = 30^2$$

$$GA^2 + \frac{AB^2}{4} = 900$$

Так как $GA$ также является полусуммой оснований меньшей трапеции, $GA = \frac{AB + CD}{2}$, и мы можем подставить это значение:

$$\left(\frac{AB + CD}{2}\right)^2 + \frac{AB^2}{4} = 900$$

Мы знаем, что $AB + CD$ это длина большей основания, которую мы обозначим $x$. Теперь мы можем решить это уравнение относительно $x$:

$$\frac{x^2}{4} + \frac{AB^2}{4} = 900$$

$$\frac{x^2 + AB^2}{4} = 900$$

$$x^2 + AB^2 = 3600$$

Так как $x$ это длина большей основания, то 0 1