Question

Помогите пж срочно Дан треугольник ABC. Известно, что AB = 8, BC = 4 корень 3 , ∠ABC = 150°. Найди длину медианы BD. Реши задачу, применяя векторы.

Answer 1

Ответ:

2

Объяснение:

Рассмотрим векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Так как D - середина отрезка АС, то

$\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$

Возведем в квадрат обе части равенства:

$\overrightarrow{BD}^2=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)^2$

$|\overrightarrow{BD}|^2=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}^2+2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}^2\right)=$

$=\dfrac{1}{4}\left(|\overrightarrow{BA}|^2+2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+|\overrightarrow{BC}|^2\right)$

$|\overrightarrow{BA}|=8$

$|\overrightarrow{BC}|=4\sqrt{3}$

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos \angle ABC=8\cdot 4\sqrt{3}\cdot \cos 150^\circ=32\sqrt{3}\cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-48$

$|\overrightarrow{BD}|^2=\dfrac{1}{4}\left(8^2+2\cdot (-48)+(4\sqrt{3})^2\right)=$

$=\dfrac{1}{4}\left(64-96+48\right)=\dfrac{1}{4}\cdot 16=4$

$BD=\sqrt{4}=2$

Answer 2

Для решения этой задачи с использованием векторов, давайте следовать следующим шагам:

1. Найдем векторы AB и BC.
2. Найдем вектор медианы BD.
3. Найдем длину вектора BD.

Пусть A, B и C - это вершины треугольника ABC, а D - середина стороны AC.

1. Найдем векторы AB и BC: Вектор AB = B - A = (8, 0) - (0, 0) = (8, 0). Вектор BC = C - B = (0, 4√3) - (8, 0) = (-8, 4√3).

2. Найдем вектор медианы BD: Вектор медианы BD = 1/2 * (AB + BC) = 1/2 * ((8, 0) + (-8, 4√3)) = (0, 2√3).

3. Найдем длину вектора BD: Длина вектора BD = √((0)^2 + (2√3)^2) = √(0 + 12) = √12 = 2√3.

Таким образом, длина медианы BD равна 2√3.