Question

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб АВСD с острым углом α. Прямая BC1 составляет с плоскостью DC1D1 угол β. Найдите площадь боковой поверхности и объем параллелепипеда, если длина бокового ребра а.

Answer 1

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб АВСD с острым углом α. Прямая BC1 составляет с плоскостью DC1D1 угол β. Найдите площадь боковой поверхности и объем параллелепипеда, если длина бокового ребра а.

Объяснение:

S(бок)=Р*h, V=S(осн)*h  ,где  h-высота прямого параллелепипеда; S(ромба)=а²*sinα.

Пусть сторона ромба х , ∠DCB=α , ВН⊥DC. Тогда углом между плоскостью (DC₁D₁) и прямой ВС₁ будет ∠ВС₁H=β  .

ΔВНС-прямоугольный , ВН=х*sinα   .

ΔBHC₁-прямоугольный , ВН=ВС₁*sinβ  .

            ΔBCC₁ прямоугольный ,BC₁=√(x²+a²), поэтому

ВН=√(x²+a²)*sinβ . Приравняем правые части для ВН и найдем сторону ромба.

х*sinα=√(x²+a²)*sinβ  , х²*sin²α=(x²+a²)*sin²β  , х²*sin²α - x²*sin²β=a²*sin²β , х²*(sin²α-sin²β)=a²*sin²β  ,    х=$\displaystyle \sqrt{\frac{a^{2}sin ^{2} \beta }{sin^{2} \alpha -sin^{2} \beta } }$ ,  x=$\displaystyle \frac{asin \beta }{\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{2}\beta } }$  .

S(бок)=4*а* $\displaystyle \frac{asin \beta }{\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{2}\beta } }$  ,   S(бок)=$\displaystyle \frac{4a^{2} sin\beta }{\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{2}\beta } }$   ед² .

V=x²sinα*a=$\displaystyle ( \frac{asin\beta }{\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{2}\beta } })^{2}$*sinα*a  =  $\displaystyle \frac{a^{3} sin^{2} \beta *sin\alpha }{\sin^{2}\alpha-sin^{2}\beta } }$ ( ед³)

==============

Углом между наклонной и плоскостью называется острый угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.

Answer 2

Для решения задачи давайте разберемся с геометрической конфигурацией и воспользуемся соответствующими формулами.

1. Площадь боковой поверхности параллелепипеда: Площадь боковой поверхности можно разделить на 4 грани: ABC1, A1B1C1, A1DC1 и AD1C1. Поскольку ромб ABCD - основание параллелепипеда, то стороны ромба равны друг другу.

Площадь одной из граней ABC1: S_ABC1 = AB * BC1.

С учетом того, что сторона ромба равна a, а угол между плоскостью ABC1 и плоскостью DC1D1 (то есть угол β) мы можем выразить через угол α и свойства параллелограмма:

BC1 = a * cos(β).

Таким образом, площадь одной грани будет: S_ABC1 = a * a * cos(β) = a^2 * cos(β).

Поскольку у нас 4 такие грани, общая площадь боковой поверхности будет: S_бок = 4 * a^2 * cos(β).

2. Объем параллелепипеда: Объем параллелепипеда равен произведению длины одной из его сторон (a), ширины (AB) и высоты (BC1). Обратите внимание, что AB - это диагональ ромба, которую можно выразить через сторону ромба (a) и угол α:

AB = a * √2.

Таким образом, объем параллелепипеда: V = a * AB * BC1 = a * a * √2 * a * cos(β) = a^2 * a * √2 * cos(β) = a^3 * √2 * cos(β).

Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4 * a^2 * cos(β), а объем параллелепипеда равен a^3 * √2 * cos(β).