Question

По координатам вершин треугольника ∆ABC найти: • уравнение линии BC ; • уравнение высоты AK ; • длину высоты AK ; • уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC ; • уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A; • угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB; • площадь треугольника ABC ; • периметр треугольника ABC . Пример : A(− ,1 −1), B( 2,5 ), C( 3,2 )

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника ABCA: (− 1,−1), B( 2,5 ), C( 3,2 ).

Найти:

1) Уравнение линии BC ;

Вектор ВС = (3-2; 2-5)= (1; -3).

Уравнение ВС: (х - 2)/1 = (у - 5)/(-3) или в виде уравнения с угловым коэффициентом у = -3х + 11.

2) Уравнение высоты AK - это перпендикуляр к стороне ВС.

Тогда к(АК) = -*1/к(ВС) = -1/(-3) = 1/3.

Уравнение АК: у = (1/3)х + в.

Чтобы найти в подставим координаты точки А: -1 = (1/3)*(-1) + в, отсюда

в = -1 + (1/3) = (-2/3).

Уравнение АК: у = (1/3)х - (2/3).

3) Длину высоты AK ;

Это расстояние от точки А до прямой ВС.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C| /√(A² + B²).

Подставим в формулу данные:

d =   |3·(-1) + 1·(-1) + (-11)|/ √32 + 12  =   |-3 - 1 - 11| /√(9 + 1 ) =

=   15 /√10  =   3√10 /2  ≈ 4.743416.

4) Уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC ;

У этой прямой угловой коэффициент равен такому у прямой ВС,

Уравнение: у = -3х + в. Подставим координаты точки А:

-1 = (-3)*(-1) + в, отсюда в = -1 - 3 = -4.

Уравнение: у = -3х - 4.

5) Уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A;

Находим координаты точки М как середину стороны ВС. B( 2,5 ), C( 3,2 )

М = (2,5; 3,5). Вектор АМ = (2,5-(-1); 3,5-(-1)) = (3,5; 4,5).

Уравнение АМ: (х + 1)/3,5 = (у + 1)/4,5 или с целыми коэффициентами

(х + 1)/7 = (у + 1)/9.

Уравнение АМ в общем виде 9х - 7у + 2 = 0.

6) Угол (φ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB;

Вектор АВ = (2-(-1); 5-(-1)) = (3; 6). Модуль равен √(9+36) = √45 = 3√5.

Вектор АМ = (7; 9).  Модуль равен √(49+81) = √130.

cos φ = (3*7 + 6*9)/(3√5*√130) = 75/15√26 = 5√26/26 = 0,98058.

Угол φ = arc cos(5√26/26) = 0,1974 радиан или 11,30993 градуса.

7) Площадь треугольника ABC ;

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 7,5  кв.ед.

8) Периметр треугольника ABC .

Периметр Р = 14,87048 .

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте начнем.

Даны координаты трех вершин треугольника: A(−1, −1), B(2, 5), C(3, 2).

1. Уравнение линии BC: Уравнение прямой можно найти, используя формулу точки и нормали (или угловой коэффициент и точку на прямой). Первым шагом найдем угловой коэффициент: $m_{BC} = \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C} = \frac{5 - 2}{2 - 3} = -3.$ Теперь можем использовать уравнение точки и наклона (форма уравнения прямой): $y - y_1 = m(x - x_1),$ где $(x_1, y_1)$ - известная точка на прямой, $m$ - угловой коэффициент. Используем точку $B(2, 5)$: $y - 5 = -3(x - 2).$ Это уравнение прямой BC.

2. Уравнение высоты AK: Высота проведена из вершины A. Для нахождения уравнения высоты, нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через A и перпендикулярной стороне BC. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет противоположным обратным угловому коэффициенту BC: $m_{AK} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{3}.$ Используем точку A(−1, −1): $y - (-1) = \frac{1}{3}(x - (-1)).$ Упростим: $y + 1 = \frac{1}{3}(x + 1).$ Это уравнение высоты AK.

3. Длина высоты AK: Для вычисления длины высоты можно использовать расстояние между точками A и пересечением высоты с прямой BC. Найденное ранее уравнение высоты AK имеет вид: $y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}.$ Подставляем это уравнение в уравнение BC и находим точку пересечения: $y - 5 = -3(x - 2).$ $\frac{1}{3}x - \frac{4}{3} - 5 = -3x + 6.$ $\frac{10}{3}x = \frac{23}{3}.$ $x = \frac{23}{10}.$ $y = \frac{1}{3} \cdot \frac{23}{10} - \frac{4}{3} = \frac{1}{30}.$ Таким образом, точка пересечения высоты AK с BC: $\left(\frac{23}{10}, \frac{1}{30}\right)$. Теперь можем найти длину высоты AK, используя расстояние между точками: $d_{AK} = \sqrt{\left(\frac{23}{10} - (-1)\right)^2 + \left(\frac{1}{30} - (-1)\right)^2}.$ $d_{AK} = \sqrt{\frac{576}{100} + \frac{961}{900}} = \sqrt{\frac{2236}{900}} = \frac{\sqrt{2236}}{30} \approx 1.86.$

Продолжение следует...