Question

По координатам вершин треугольника ∆ABC найти: • уравнение линии BC ; • уравнение высоты AK ; • длину высоты AK ; • уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC ; • уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A; • угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB; • площадь треугольника ABC ; • периметр треугольника ABC . Пример : A(− ,1 −1), B( 7,2 ), C( -4,3 )

Answer 1

Ответ:

Ответ, проверенный экспертом

4.0/5

3



dnepr1

главный мозг

12.5 тыс. ответов

85.6 млн пользователей, получивших помощь

Даны координаты вершин треугольника ABCA: (− 1,−1), B( 2,5 ), C( 3,2 ).

Найти:

1) Уравнение линии BC ;

Вектор ВС = (3-2; 2-5)= (1; -3).

Уравнение ВС: (х - 2)/1 = (у - 5)/(-3) или в виде уравнения с угловым коэффициентом у = -3х + 11.

2) Уравнение высоты AK - это перпендикуляр к стороне ВС.

Тогда к(АК) = -*1/к(ВС) = -1/(-3) = 1/3.

Уравнение АК: у = (1/3)х + в.

Чтобы найти в подставим координаты точки А: -1 = (1/3)*(-1) + в, отсюда

в = -1 + (1/3) = (-2/3).

Уравнение АК: у = (1/3)х - (2/3).

3) Длину высоты AK ;

Это расстояние от точки А до прямой ВС.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C| /√(A² + B²).

Подставим в формулу данные:

d =   |3·(-1) + 1·(-1) + (-11)|/ √32 + 12  =   |-3 - 1 - 11| /√(9 + 1 ) =

=   15 /√10  =   3√10 /2  ≈ 4.743416.

4) Уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC ;

У этой прямой угловой коэффициент равен такому у прямой ВС,

Уравнение: у = -3х + в. Подставим координаты точки А:

-1 = (-3)*(-1) + в, отсюда в = -1 - 3 = -4.

Уравнение: у = -3х - 4.

5) Уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A;

Находим координаты точки М как середину стороны ВС. B( 2,5 ), C( 3,2 )

М = (2,5; 3,5). Вектор АМ = (2,5-(-1); 3,5-(-1)) = (3,5; 4,5).

Уравнение АМ: (х + 1)/3,5 = (у + 1)/4,5 или с целыми коэффициентами

(х + 1)/7 = (у + 1)/9.

Уравнение АМ в общем виде 9х - 7у + 2 = 0.

6) Угол (φ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB;

Вектор АВ = (2-(-1); 5-(-1)) = (3; 6). Модуль равен √(9+36) = √45 = 3√5.

Вектор АМ = (7; 9).  Модуль равен √(49+81) = √130.

cos φ = (3*7 + 6*9)/(3√5*√130) = 75/15√26 = 5√26/26 = 0,98058.

Угол φ = arc cos(5√26/26) = 0,1974 радиан или 11,30993 градуса.

7) Площадь треугольника ABC ;

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 7,5  кв.ед.

8) Периметр треугольника ABC .

Периметр Р = 14,87048 .

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулы и свойства треугольника. Давайте найдем каждый из искомых параметров поочередно.

Уравнение линии BC:

Для нахождения уравнения линии BC, нам понадобится использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки. В данном случае, нам даны координаты точек B и C. Подставим их в формулу и рассчитаем уравнение прямой BC.

Координаты точки B: B(7, 2) Координаты точки C: C(-4, 3)

Формула уравнения прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), выглядит следующим образом:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Подставим координаты точек B и C:

y - 2 = ((3 - 2) / (-4 - 7)) * (x - 7)

Упростим выражение:

y - 2 = (1 / -11) * (x - 7)

Умножим обе части на -11, чтобы избавиться от дроби:

-11y + 22 = x - 7

Выразим x:

x = -11y + 29

Таким образом, уравнение линии BC имеет вид: x = -11y + 29.

Уравнение высоты AK:

Чтобы найти уравнение высоты AK, нам необходимо знать координаты точки A и уравнение линии BC. В данном случае, у нас уже есть уравнение линии BC и координаты точки A. Подставим координаты точки A в уравнение линии BC и решим уравнение относительно y, чтобы получить уравнение высоты AK.

Координаты точки A: A(-1, 1)

Подставим координаты точки A в уравнение линии BC:

x = -11y + 29

-1 = -11y + 29

Решим уравнение относительно y:

-11y = -1 - 29

-11y = -30

y = 30 / 11

Таким образом, координата y точки K равна 30 / 11.

Подставим полученное значение y в уравнение линии BC, чтобы найти соответствующую координату x:

x = -11 * (30 / 11) + 29

x = -30 + 29

x = -1

Таким образом, координата x точки K равна -1.

Таким образом, уравнение высоты AK имеет вид: x = -1.

Длина высоты AK:

Для нахождения длины высоты AK, нам нужно вычислить расстояние между точкой A и точкой K. Для этого, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Координаты точки A: A(-1, 1) Координаты точки K: K(-1, 30 / 11)

Формула для расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) выглядит следующим образом:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Подставим координаты точек A и K в формулу и рассчитаем длину высоты AK.

d = sqrt((-1 - (-1))^2 + (30 / 11 - 1)^2)

d = sqrt(0^2 + (30 / 11 - 1)^2)

d = sqrt((30 / 11 - 1)^2)

d = sqrt((30 / 11 - 11 / 11)^2)

d = sqrt((30 - 11)^2 / 11^2)

d = sqrt(19^2 / 11^2)

**d = sqrt(361 / 121