Question

В остроугольном треугольнике ABC AA1 и BB1 — высоты, D — проекция A1 на AC, E — проекция D на AB, F — точка пересечения ED и AA1. Известно, что ∠C=37∘. Найдите ∠FB1B.

Answer 1

Ответ:

53°

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим данный остроугольный треугольник ABC и введем обозначения для удобства:

• Пусть ∠C = 37° (дано).
• Пусть H_A и H_B обозначают точки пересечения высот с противоположными сторонами AB и AC соответственно.
• Пусть D - проекция точки A1 на сторону AC.
• Пусть E - проекция точки D на сторону AB.
• Пусть F - точка пересечения линий ED и AA1.

Нам нужно найти ∠FB1B.

Первое, что мы можем заметить, это то, что точки A, D и H_A лежат на одной прямой, так как AD - высота треугольника ABC. Аналогично, точки D, E и H_B также лежат на одной прямой, так как DE - высота треугольника AED.

Сначала давайте рассмотрим треугольник AED. Так как DE - высота, а DD1 - подвысота треугольника ABC, мы можем сказать, что треугольник ADD1 подобен треугольнику AED по общему углу и общему угловому противолежащему сторону. То есть:

∠AED = ∠ADD1.

Также, так как AD1 параллельно BC (поскольку A1D1 и A1H_A - это высоты, образующие параллельные прямые), то:

∠ADD1 = ∠C.

Таким образом, ∠AED = ∠C = 37°.

Теперь рассмотрим треугольник AEF. Так как F - точка пересечения ED и AA1, угол AEF является вертикальным углом к ∠AED. Следовательно:

∠AEF = ∠AED = 37°.

Наконец, рассмотрим треугольник AFH_B. Так как ∠AFH_B - вертикальный угол к ∠AEF (поскольку F и H_B лежат на одной прямой), то:

∠AFH_B = ∠AEF = 37°.

Итак, мы имеем:

∠FB1B = ∠AFH_B = 37°.

Таким образом, ∠FB1B = 37°.