Question

Известно что в равнобедренную трапецию площадью 576 можно вписать окружность если расстояние между точками касания этой окружности боковых сторон равно 3 то радиус равен​

Answer 1

Пусть нижнее основание равно а, верхнее равно b, боковая сторона равна с, угол при нижнем основании равен α.

У трапеции, в которую вписана окружность, боковая сторона равна средней линии: с = (a + b)/2.

Используем формулу площади трапеции:

S = ((a+b)/2)*h = ((a+b)/2)*√(ab).

Получаем первое уравнение:  ((a+b)/2)*√(ab) = 576 или

(a+b)*√(ab) = 1152.

Теперь используем заданное условие: расстояние между точками касания этой окружности боковых сторон равно 3.

Выразим расстояние t между точками касания.

t = b+2(b/2)*cos α = b(1 + cos α) = 3.

Косинус альфа выразим так:

cos α = ((a - b)/2)/c = ((a - b)/2)/((a + b)/2) = (a - b)/(a + b).

Тогда второе уравнение получим в виде:

b(1 + ((a - b)/(a + b))) = 3.

Решаем систему из двух уравнений с неизвестными a и b.

{(a+b)*√(ab) = 1152.

{b(1 + ((a - b)/(a + b))) = 3.

Решение даёт значение оснований трапеции:

a = 12(√15 + 4) ≈ 94,4758.

b = -12(√15 - 4) ≈ 1,5242.

Находим радиус r вписанной окружности.

r = h/2 = √(ab)/2 = 6.

Ответ: радиус равен 6.

Answer 2

Давайте обозначим равнобедренную трапецию следующим образом:

ABCD - вершины трапеции. AB и CD - основания трапеции. BC и AD - боковые стороны трапеции. P и Q - точки касания окружности с боковыми сторонами BC и AD соответственно.

Площадь трапеции можно выразить через её высоту (h) и среднюю длину оснований (среднее арифметическое AB и CD):

S = h * (AB + CD) / 2.

Дано, что площадь S равна 576:

576 = h * (AB + CD) / 2.

Также дано, что расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами BC и AD равно 3:

BC - AD = 3.

Так как трапеция равнобедренная, то её высота проведена из середины AB в точку O на CD (середине CD), и она также является медианой трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, то BO = OC = CD / 2.

Обозначим радиус окружности как r.

Теперь мы можем выразить высоту трапеции через радиус окружности и разность длин боковых сторон:

h = r + r + 3 = 2r + 3.

Теперь мы можем подставить это выражение для высоты в уравнение для площади:

576 = (2r + 3) * (AB + CD) / 2.

Так как AB + CD = BC + AD, и BC - AD = 3, то AB + CD = 2r + 3 + 2r = 4r + 3.

Подставляя это значение, получим:

576 = (2r + 3) * (4r + 3) / 2.

Решая это уравнение, можно найти значение r - радиуса окружности. Однако это уравнение является квадратным и может иметь два корня, из которых один будет отрицательным (что не имеет смысла в данном контексте).

Пожалуйста, решите это уравнение для получения значения радиуса r.