Question

Спростуй та побудуй криву 3x² + 10ху + 3у² – 2х – 14у – 13 = 0.

Answer 1

на рисунке представлена кривая

Answer 2

Для спрощення та побудови кривої рівняння 3x² + 10xy + 3y² - 2x - 14y - 13 = 0, ми можемо використати метод доповнення квадрату для квадратичних членів:

Поділимо рівняння на 3: x² + (10/3)xy + y² - (2/3)x - (14/3)y - (13/3) = 0

Тепер ми спробуємо згрупувати квадратичні члени щодо змінних x та y: (x² + (10/3)xy + y²) - (2/3)x - (14/3)y - (13/3) = 0

Тепер ми маємо вираз, який схожий на квадрат повного квадрата бінома (a + b)²: (x + (5/3)y)² - (2/3)x - (14/3)y - (13/3) = 0

Тепер додамо та віднімемо коригуючі терміни, щоб виразити його як квадрат повного квадрата бінома: (x + (5/3)y)² - (2/3)x - (14/3)y + (25/9)y² - (25/9)y² - (13/3) = 0

Згрупуємо перші три терміни, останні два терміни та коригуючі терміни окремо: (x + (5/3)y)² + (25/9)y² - (2/3)x - (14/3)y - (25/9)y² - (13/3) = 0

Послідовно скоротимо деякі дробові вирази: (x + (5/3)y)² - (25/9)y² - (2/3)x - (25/9)y² - (14/3)y - (13/3) = 0

Тепер ми маємо вираз, в якому перший член є квадратом бінома, інші терміни є коригуючими термінами та константою. Перепишемо рівняння: (x + (5/3)y)² - (25/9)y² - (2/3)x - (25/9)y² - (14/3)y - (13/3) = 0

Згрупуємо коригуючі терміни та спростимо їх: (x + (5/3)y)² - (50/9)y² - (2/3)x - (14/3)y - (13/3) = 0

Тепер наш вираз виглядає наступним чином: (x + (5/3)y)² - (50/9)y² - (2/3)x - (14/3)y - (13/3) = 0

Це є рівняння параболи зі зсувом та розтягненням. Для побудови цієї параболи ми можемо використати геометричні властивості параболи та графікуючи зсуви та розтягнення.