Question

В треугольнике ABC AB=12, AC=10, BC=8. Точки K, L и M лежат на прямых AB, BC и CA соответственно так, что K — середина AB, AM=BL=1. Могут ли перпендикуляры, которые восставлены из этих точек к прямым, на которых они лежат, пересекаться в одной точке? Да, если точки M и L лежат на сторонах треугольника Да, если точка M лежит на стороне треугольника, а точка L лежит на продолжении стороны Да, если точка M лежит на продолжении стороны треугольника, а точка L лежит на стороне Да, если точки M и L лежат на продолжениях сторон треугольника Нет, не могут

Answer 1

Пусть P - произвольная точка

PK, PL, PM - перпендикуляры к сторонам треугольника ABC

 

По теореме Пифагора для треугольников PAK и PBK

PK^2 =PA^2 -AK^2 =PB^2 -BK^2 <=> PA^2 -PB^2 =AK^2 -BK^2

(Доказали, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций.)

PB^2 -PC^2 =BL^2 -CL^2

PC^2 -PA^2 =CM^2 -AM^2

Сложим:

AK^2 -BK^2 +BL^2 -CL^2 +CM^2 -AM^2 =0 <=>

AK^2 +BL^2 +CM^2 =CL^2 +BK^2 +AM^2

Если перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, то выполняется это равенство.

(Обратное док-во: разность квадратов наклонных для двух пересекающихся перпендикуляров подставляем в доказанное равенство - получаем разность квадратов наклонных для третьего отрезка - тогда он также является перпендикуляром.)

 

Проверим данные из условия

AK=BK=6, BL=AM=1

CM= {9, 11}

CL= {7, 9}

CM^2 =CL^2 в одном случае:

точка M на стороне, точка L на продолжении стороны.

Answer 2

Давайте рассмотрим варианты:

1. Да, если точки M и L лежат на сторонах треугольника: В этом случае, перпендикуляры из точек K, L и M будут пересекаться в точке K, так как K — середина стороны AB, и перпендикуляры из M и L к стороне AB будут проходить через K.

2. Да, если точка M лежит на стороне треугольника, а точка L лежит на продолжении стороны: Если M лежит на стороне CA, а L на продолжении стороны BC, то перпендикуляры из M и L будут пересекаться в точке M, так как M — середина стороны CA.

3. Да, если точка M лежит на продолжении стороны треугольника, а точка L лежит на стороне: Аналогично предыдущему случаю, перпендикуляры из M и L будут пересекаться в точке L, так как L — середина стороны BC.

4. Да, если точки M и L лежат на продолжениях сторон треугольника: В этом случае, перпендикуляры из M и L будут пересекаться в точке C, так как M и L будут лежать на продолжениях сторон CA и CB соответственно, и перпендикуляры из них будут проходить через вершину C.

5. Нет, не могут: Этот случай возникает, если точка M лежит на продолжении стороны CA, а точка L лежит на продолжении стороны AB. В этом случае, перпендикуляры из M и L не будут пересекаться в одной точке, так как они будут параллельны друг другу.

Итак, ответ: Нет, не могут.