Question

Помогите пожалуйста срочно нужно Даны точки: (2; 3, -1); В (0; 1 2); С (4; -1; -1); D (2; -3; 1). Задания:1. Запишите координаты векторов AB, CD.2. Запишите разложение вектора АС по координатам i, j, k.3. Найдите координаты точки К - середины отрезка ВС.4. Вычислите длину BD и расстояние между точками А и D.5. Найдите косинусы углов между векторами АВ и ВС, ВС и CD.

Answer 1

Ответ:

В объяснении.

Объяснение:

Все решается по формулам:

1. Координаты векторов - по координатам начала и конца:

Вектор АВ{Xb-Xa;Yb-Ya;Zb-Za} = {0-2;1-3;2-(-1)} = {-2;-2;3}.

Вектор CD{Xd-Xc;Yd-Yc;Zd-Zc} = {2-4;-3-(-1);1-(-1)} = {-2;-2;2}.

2. Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:  

вектор АС{x;y;z} = АСх·i + ACy·j + ACz·k.

В нашем случае координаты вектора АC{4-2;-1-3;-1-(-1)} = AC{2;-4;0}.

Тогда разложение вектора будет иметь вид:

AC = 2·i - 4·j + 0·k = 2i-4j.

3. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат начала и конца.

К((0+4)/2;(1+(-1))/2;(2+(-1))/2) =>  K(2;0;0,5).

4. Длина вектора (его модуль) равен расстоянию между его концами и находится по формуле:

|BD| = √(Xd-Xb)²+(Yd-Yb)²+(Zd-Zb)²) = √(2-0)²+(-3-1)²+(1-2)²) = √(4+16+1) = √21 ед.

|AD| = √(Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²+(Zd-Za)²) = √(2-2)²+(-3-3)²+(1-(-1))²) = √(0+36+4) = 2√10 ед.

5. Kосинусы углов между векторами находятся по формуле:

Cos(AB^BC) = (Xab·Xbc+Yab·Ybc+Zab·Zbc)/[√(Xab²+Yab²+Zab²)·√(Xbc²+Ybc²+Zbc²)]

Координаты вектора BC по формуле, приведенной выше: ВС{4;-2;-3}

Cos(AB^BC) = (-2·4+(-2·-2)+3·(-3))/(√17*√29) = -1/√493 ≈ -0,045.

Аналогично:

Cos(BC^CD) = (4·(-2)+(-2·-2)+(-3)·2)/(√29*√12) =

-10/(2√57) = -5/√57 ≈ -0,662.

Answer 2

Давайте решим задачи по порядку:

1. Запишем координаты векторов AB и CD: Вектор AB = B - A = (0 - 2, 1 - 3, 2 - (-1)) = (-2, -2, 3) Вектор CD = D - C = (2 - 4, -3 - (-1), 1 - (-1)) = (-2, -2, 2)

2. Запишем разложение вектора AC по координатам i, j, k: Вектор AC = C - A = (4 - 2, -1 - 3, -1 - (-1)) = (2, -4, 0) Разложение вектора AC по координатам: AC = 2i - 4j + 0k

3. Найдем координаты точки K - середины отрезка BC: Координаты середины отрезка BC можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C: K = ((0 + 4) / 2, (1 + (-1)) / 2, (2 + (-1)) / 2) = (2, 0, 0)

4. Вычислим длину вектора BD и расстояние между точками A и D: Длина вектора BD = ||BD|| = √((-2)^2 + (-2)^2 + 2^2) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3 Расстояние между точками A и D = ||AD|| = √((2 - 2)^2 + (3 - (-3))^2 + (-1 - 1)^2) = √(0 + 36 + 4) = √40 = 2√10

5. Найдем косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD. Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:

   Косинус угла между векторами AB и CD: cos(θ) = (AB · CD) / (||AB|| * ||CD||) где · обозначает скалярное произведение векторов.

   Сначала вычислим скалярное произведение AB и CD: AB · CD = (-2 * -2) + (-2 * -2) + (3 * 2) = 4 + 4 + 6 = 14

   Теперь найдем длины векторов AB и CD, которые мы уже вычислили: ||AB|| = 2√3, ||CD|| = 2√3

   Теперь можем найти косинус угла между AB и CD: cos(θ) = (14) / (2√3 * 2√3) = 14 / 12 = 7 / 6

   Косинус угла между AB и CD равен 7/6, но это значение больше 1, что невозможно для косинуса. Таким образом, угол между векторами AB и CD не существует в трехмерном пространстве.

   Косинус угла между векторами BC и CD: BC · CD = ((-2) * (-2)) + ((-2) * (-2)) + (0 * 2) = 4 + 4 + 0 = 8

   Длины векторов BC и CD также мы уже вычислили: ||BC|| = 2√12 = 2√3, ||CD|| = 2√3

   Теперь можем найти косинус угла между BC и CD: cos(θ) = (8) / (2√3 * 2√3) = 8 / 12 = 2 / 3

   Косинус угла между BC и CD равен 2/3.