Question

На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отмечены точки L, M и N так, что LM параллельно AC и MN параллельно AB. Докажите, что точка M и середины отрезков BN и CL являются вершинами равностороннего треугольника.

Answer 1

△BLM~△ABC (по соответственным углам) => △BLM - равносторонний

BL=LM=BM =t

ALMN - параллелограмм (противоположные стороны параллельны)

LM=AN =t

Отметим точки F и G, AF=CG =t

Сторона △ABC =a

BF=AG=CM =a-t

△BFM=△AGF=△CMG (по двум сторонам и углу между ними)

MF=FG=GM, △MFG - равносторонний

FN||BC (обратная т. о пропорциональных отрезках)

FBMN - параллелограмм (противоположные стороны параллельны)

D - середина BN => D - середина MF (диагонали параллелограмма)

Аналогично E - середина MG

DE - средняя линия в △MFG, DE||FG

△MDE~△MFG (по соответственным углам) => △MDE - равносторонний

Answer 2

Давайте рассмотрим равносторонний треугольник ABC и проведем отметки, как указано в вашем вопросе:

1. Пусть AB, BC и CA - стороны равностороннего треугольника ABC, а L, M и N - точки на этих сторонах, как описано.

2. Поскольку LM параллельно AC, мы можем применить теорему Талеса, чтобы утверждать, что отношение длины AM к длине MC равно отношению длины AL к длине LC:

   AM / MC = AL / LC

3. Точно так же, поскольку MN параллельно AB, мы можем использовать теорему Талеса, чтобы утверждать, что отношение длины BM к длине MC равно отношению длины BN к длине NA:

   BM / MC = BN / NA

4. Теперь давайте объединим эти два равенства:

   AM / MC = AL / LC = BM / MC = BN / NA

5. Заметим, что MC отменяется в левой и правой частях уравнения, и мы получаем:

   AM = AL = BN = NA

6. Это означает, что AM равно длине AL, и точка M совпадает с точкой L. Точно так же точка M совпадает с точкой N, и точка M совпадает с серединой отрезков BN и CL.

7. Таким образом, мы видим, что точка M совпадает с серединой отрезков BN и CL, и она также совпадает с вершиной равностороннего треугольника ABC.

Таким образом, точка M и середины отрезков BN и CL являются вершинами равностороннего треугольника, что и требовалось доказать.