Question

5.Найдите углы ромба ABCD, если его диагонали AC и BD равным 4√3 и 4

Answer 1

Ответ:

∠BCD = ∠BAD = 60°

∠ADC = ∠ABC = 120°

Объяснение:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

АО = 0,5 · АС = 0,5 · 4√3 = 2√3

ВО = 0,5 · BD = 0,5 · 4 = 2

ΔАОВ:  ∠АОВ = 90°,

  $tg\angle OAB=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

∠OAB = 30°

Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, поэтому

∠BAD = 2 · ∠OAB = 2 · 30° = 60°

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°.

∠АВС = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°

Противолежащие углы ромба равны:

∠BCD = ∠BAD = 60°

∠ADC = ∠ABC = 120°

Answer 2

Для нахождения углов ромба ABCD, когда известны его диагонали AC и BD, можно воспользоваться теоремой косинусов. У нас есть ромб ABCD, и диагонали AC и BD даны следующим образом:

AC = 4√3 BD = 4

Обозначим угол между диагоналями AC и BD как θ.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC и треугольника BCD:

1. Для треугольника ABC: cos(θ) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

2. Для треугольника BCD: cos(θ) = (BC^2 + CD^2 - BD^2) / (2 * BC * CD)

Известно, что AC и BD являются диагоналями ромба, и по определению, диагонали ромба перпендикулярны друг к другу, поэтому угол между ними равен 90 градусов.

Теперь мы можем воспользоваться этими знаниями для вычисления угла θ:

cos(90°) = 0

Следовательно, воспользуемся уравнением для треугольника ABC:

0 = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

Теперь мы знаем, что AB и BC равны друг другу в ромбе, поскольку все стороны ромба равны. Пусть x обозначает длину стороны ромба:

AB = BC = x

Подставляем это значение в уравнение:

0 = (x^2 + x^2 - (4√3)^2) / (2 * x * x)

0 = (2x^2 - 48) / (2x^2)

Упростим уравнение:

0 = 2x^2 - 48

Теперь решим это уравнение для x:

2x^2 = 48

x^2 = 24

x = √24

x = 2√6

Теперь, когда мы знаем длину стороны ромба, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC:

cos(θ) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

cos(θ) = ((2√6)^2 + (2√6)^2 - (4√3)^2) / (2 * 2√6 * 2√6)

cos(θ) = (24 + 24 - 48) / (8√6)

cos(θ) = 0

Теперь, чтобы найти угол θ, найдем арккосинус от 0:

θ = arccos(0)

θ = 90°

Итак, угол между диагоналями AC и BD ромба ABCD равен 90 градусов.