Question

В треугольнике АВС угол между сторонами АВ = 3 см и АС = 6 см равен 60°. В вершине этого угла построен перпендикуляр АМ = 12 см к плоскости треугольника. Найдите расстояния от концов перпендикуляра к середине стороны ВС.

Answer 1

Ответ:

АК= $\frac{3\sqrt{7} }{2}$

МК= $\frac{3\sqrt{71} }{2}$

Объяснение:

Надо найти АК и МК

Пусть К - середина стороны ВС.

По теореме косинусов:

ВС²=АВ²+АС²-2*АВ*АС*cos∠A = 9+36-2*3*6*$\frac{1}{2}$ = 27

ВС=√27,

ВК=КС= √27/2

Применим обратную т.Пифагора к ΔАВС:

АВ²+ВС²=АС² - проверим равенство. Если оно истинное, значит ∠В=90°

3²+(√27)² = 6²

9+27=36

36=36 - равенство верное, ⇒∠В=90° , ΔАВС - прямоугольный

Рассмотрим ΔАВК (∠В=90°).  

По теореме Пифагора: АК²= АВ²+ВК² = 9+ 27/4 = 63/4

АК= $\frac{3\sqrt{7} }{2}$ - нашли первое расстояние.

Рассмотрим ΔАМК.

Т.к. АМ⊥(АВС), то АМ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, а значит АМ⊥АК. ΔАМК - прямоугольный. ∠А=90°

По теореме Пифагора: МК²=АМ²+АК²=144+63/4=639/4

МК= $\frac{3\sqrt{71} }{2}$ - нашли второе расстояние

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разделим её на несколько этапов.

1. Вычислим длину стороны AC. У нас есть две стороны треугольника и угол между ними, поэтому можно воспользоваться законом косинусов:

   a² = b² + c² - 2bc * cos(A)

   Где a - сторона противоположная углу A, b и c - длины сторон, A - угол между сторонами b и c.

   В данной задаче b = 3 см, c = 6 см и A = 60°.

   a² = 3² + 6² - 2 * 3 * 6 * cos(60°) a² = 9 + 36 - 36 * 0.5 a² = 45 a = √45 a = 3√5 см

2. Теперь, мы знаем длины сторон AC и AM. Раз у нас есть перпендикуляр из вершины угла между сторонами AB и AC, то он разбивает треугольник на два подобных треугольника: AMB и AMC.

3. Найдем длину стороны MC. Для этого используем подобие треугольников:

   MC/AC = AM/AB

   MC/3√5 = 12/3 MC = 12√5 см

4. Теперь, чтобы найти расстояния от концов перпендикуляра (точек B и C) до середины стороны BC, нам нужно найти середину этой стороны. Середина стороны BC будет находиться на расстоянии MC/2 от точки C.

   Расстояние от B до середины стороны BC равно MC/2, что равно (12√5)/2 = 6√5 см.

   Расстояние от C до середины стороны BC также равно MC/2 и равно 6√5 см.

Итак, расстояния от концов перпендикуляра (точек B и C) до середины стороны BC равны 6√5 см.