Question

Треугольники ABC и ABD равны. Их стороны AD и BC пересекаются в точке O. CO = OD. Докажите, что ∆AOC = ∆BOD.

Answer 1

Дано: ∆ABC = ∆ABD. AC = BD; BC = AD; AB - общая; CO = OD; ∠1 = ∠2; ∠BAC = ∠ABD; ∠C = ∠D.

решение:AO = BO; AO = AD - OD, BO = BC - OC. ∠3 = ∠4; ∠3 = ∠BAC - ∠1, ∠4 = ∠ABD - ∠2. ∠5 = ∠6. вертикальные
CO = OD; 2. CA = BD; 3. AO = OB. ∆AOC = ∆BOD (III признак) IV. 1. AC = BD; 2. ∠3 = ∠4; 3. ∠C = ∠D. ∆AOC = ∆BOD (II признак) II. 1. CO = OD; 2. ∠5 = ∠6; 3. ∠C = ∠D. ∆AOC = ∆BOD (II признак) III. 1. AO = OB; 2. AC = BD; 3. ∠3 = ∠4. ∆AOC = ∆BOD (I признак) V. 1. AC = BD; 2. ∠C = ∠D; 3. CO = OD. ∆AOC = ∆BOD (I признак) VI. 1. CO = OD; 2. AO = OB; 3. ∠5 = ∠6. ∆AOC = ∆BOD (I признак) VII. 1. AO = OB; 2. ∠5 = ∠6; 3. ∠3 = ∠4. ∆AOC = ∆BOD (II признак)

Answer 2

Для доказательства того, что треугольники AOC и BOD равны, мы можем воспользоваться теоремой об углах, образованных пересекающимися хордами внутри окружности. В данном случае, окружность можно представить как окружность с центром в точке O, так как CO = OD, и точка O является их пересечением.

Для начала, давайте рассмотрим угол AOC. Поскольку треугольники ABC и ABD равны, то у них равны соответствующие углы:

∠CAB = ∠DAB (по условию равенства треугольников) ∠ACB = ∠ADB (по условию равенства треугольников)

Теперь рассмотрим угол AOC. Он равен сумме углов AOB и BOC:

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC

Так как CO = OD, то угол AOB также равен углу BOD:

∠AOB = ∠BOD

Теперь мы можем объединить все наши знания:

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC ∠AOC = ∠BOD + ∠BOC

Из условия задачи также следует, что ∠COB = ∠DOB (поскольку CO = OD), поэтому:

∠AOC = ∠BOD + ∠COB

Теперь мы видим, что угол AOC равен углу BOD и углу COB. Но угол COB также равен углу DOB из-за вертикальных углов (если точки C, O и D находятся на одной прямой), так что:

∠AOC = ∠BOD + ∠COB ∠AOC = ∠BOD + ∠DOB

Теперь у нас есть два треугольника AOC и BOD с равными углами и общей стороной CO (которая также равна OD). По теореме об углах и сторонах треугольников, эти два треугольника равны:

∆AOC = ∆BOD

Таким образом, мы доказали, что треугольники AOC и BOD равны.