Question

Если можно, то с решением. Заранее спасибо. 50 баллов Через катет АС прямоугольного треугольника АВС(∠С=90°) проведена плоскость α под углом 60° к плоскости треугольника. Вычислите расстояние от вершины В к плоскости α , если АС=3 см и АВ= 2√3 см.

Answer 1

Дано:

ΔABC, AC⊂α, ∠C = 90°, ∠(α;(ABC)) = 60°, АС=3 см, АВ= 2√3 см

Найти:

BM - ?

Решение:

Проведем ВМ ⊥ α.

ВМ ⊥ α                 }

ВС - наклонная  } ⇒ АС ⊥ МС (то по теореме, обратной к теореме о 3-х

АС ⊥ ВС             }                         перпендикулярах).

∠ВСМ - линейный угол двугранного угла ВАСМ.

∠(α;(ABC)) = ∠MCB = 60°       ρ(B,α) = BH

Из ΔАВС:

AB² = AC² + BC² - Теорема Пифагора

BC = √AB² - AC² = √(2√3 см)² - (3 см)² = √12 см² - 9 см² = √3 см² = √3 см

ΔBMC - прямоугольный ⇒ sin∠MCB = BM/BC ⇒ BM = BC×sin∠MCB

BM = √3 см × sin60° = √3 см × √3/2 = (√3)²/2 см = 3/2 см = 1,5 см

Ответ: BM = 1,5 см

Answer 2

Для нахождения расстояния от вершины В до плоскости α в данной задаче, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами треугольников.

1. Построим треугольник АВС с данными значениями сторон: АС = 3 см и АВ = 2√3 см.

2. Мы знаем, что угол между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС равен 60 градусов. Таким образом, угол между катетом АС и этой плоскостью α также равен 60 градусов.

3. Теперь рассмотрим треугольник АСD, где D - точка пересечения катета АС с плоскостью α.

4. Этот треугольник АСD - прямоугольный, так как он образован пересечением плоскости α с прямым углом треугольника АВС.

5. Так как у нас есть прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения для вычисления расстояния CD (расстояния от точки D до плоскости α).

   В этом случае, мы можем воспользоваться тригонометрической функцией тангенса:

   тангенс угла DCA = CD / AC.

   Так как угол DCA равен 60 градусов, а AC = 3 см, мы можем найти расстояние CD:

   тангенс 60 градусов = CD / 3 см.

   √3 = CD / 3 см.

   CD = 3√3 см.

6. Теперь, чтобы найти расстояние от вершины B до плоскости α, мы можем рассмотреть треугольник BCD.

7. В этом треугольнике у нас есть известное расстояние CD (3√3 см), и угол BCD равен 90 градусов, так как BCD - прямой угол (плоскость α пересекается с плоскостью треугольника АВС).

8. Теперь мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти расстояние от вершины B до плоскости α:

   синус угла BCD = BD / CD.

   BD = CD * синус 90 градусов.

   Синус 90 градусов равен 1, поэтому BD = 3√3 см.

Ответ: Расстояние от вершины B до плоскости α равно 3√3 см.