Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона BC вдвое меньше, чем AD. Диагональ AC перпендикулярна стороне CD, а диагональ BD перпендикулярна стороне AB. Найдите меньший острый угол этого четырёхугольника, если больший равен 79∘.

Answer 1

Ответ:

44

Объяснение:

такая же задача была на олимпиаде

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

Из условия мы знаем, что больший угол в четырёхугольнике ABCD равен 79°. Давайте обозначим его как ∠DAB. Также нам известно, что сторона BC вдвое меньше, чем AD, что мы можем записать как:

BC = (1/2) * AD

Теперь давайте рассмотрим диагональ AC, которая перпендикулярна стороне CD. Это означает, что у нас есть два прямоугольных треугольника: ADC и ABC.

Мы знаем, что угол ADC равен 90°, так как AC перпендикулярна CD. Также, у нас есть угол ACD, который равен половине большого угла ∠DAB, то есть 79° / 2 = 39.5°.

Теперь мы можем использовать тригонометрические отношения в прямоугольных треугольниках, чтобы найти меньший острый угол в четырёхугольнике.

В треугольнике ADC: tan(39.5°) = AD / CD

В треугольнике ABC: tan(∠BAC) = BC / AC

Теперь мы знаем, что BC = (1/2) * AD и можем заменить BC во втором уравнении: tan(∠BAC) = [(1/2) * AD] / AC

Следовательно, можно записать: 2 * tan(∠BAC) = AD / AC

Теперь мы имеем два уравнения, связанных с отношением AD к AC:

1. tan(39.5°) = AD / CD
2. 2 * tan(∠BAC) = AD / AC

Давайте решим систему уравнений, чтобы найти значение ∠BAC (минимальный острый угол):

Из уравнения (1) мы можем выразить AD: AD = tan(39.5°) * CD

Теперь подставим это значение в уравнение (2): 2 * tan(∠BAC) = (tan(39.5°) * CD) / AC

Теперь давайте упростим это уравнение: tan(∠BAC) = (tan(39.5°) * CD) / (2 * AC)

Теперь мы можем найти значение ∠BAC, используя арктангенс: ∠BAC = arctan[(tan(39.5°) * CD) / (2 * AC)]

Теперь у нас есть выражение для нахождения меньшего острого угла ∠BAC, если известны значения CD и AC. Если у вас есть эти значения, подставьте их в уравнение, и вы найдете меньший острый угол этого четырёхугольника.