Question

Четырёхугольник ABCD с перпендикулярными диагоналя- ми AC и BD вписан в окружность.а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечениядиагоналей четырёхугольника перпендикулярно стороне BC, делитпополам сторону AD.б) Найдите стороны четырёхугольника ABCD, если известно, чтоAC = 84, BD = 77, а диаметр окружности равен 85.Помогите решить пункт б)​

Answer 1

Ответ:

Ответ на картинке.

Объяснение:

Если не хочешь от туда списывать вот:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром

окружности является его диагональ AC . Также известно, что в ABCD

можно вписать окружность.

а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD , если

AC = 26 и BD =10.​

Answer 2

Для решения пункта б) нам нужно найти стороны четырёхугольника ABCD, зная, что AC = 84, BD = 77, и диаметр окружности равен 85.

Поскольку четырёхугольник ABCD вписан в окружность, мы можем использовать теорему о центральном угле, которая гласит, что центральный угол, соответствующий дуге на окружности, равен вдвое больше угла, образованного этой дугой на окружности. Также, если мы соединим центр окружности (пусть он будет точкой O) с вершиной четырёхугольника, то это отрезок будет радиусом окружности.

Давайте обозначим:

AC = 84 (дано) BD = 77 (дано) Диаметр окружности = 85 (дано) OB = OA = 85/2 = 42.5 (половина диаметра)

Теперь мы можем найти угол AOB, который равен половине центрального угла, соответствующего дуге ACB на окружности:

∠AOB = 1/2 * ∠ACB

Также, так как диагонали AC и BD перпендикулярны, то угол ABC равен 90 градусам:

∠ABC = 90°

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AOB с известным гипотенузой OA (42.5) и известным углом ∠AOB (половина угла ACB). Мы можем использовать тригонометрию для вычисления сторон AB и BC.

Из тригонометрии синуса:

sin(∠AOB) = AB / OA

AB = OA * sin(∠AOB)

sin(∠AOB) можно выразить через sin(∠ACB), так как ∠AOB равно половине угла ACB:

sin(∠AOB) = sin(1/2 * ∠ACB)

Теперь мы можем использовать формулу для sin(2θ), которая гласит:

sin(2θ) = 2 * sin(θ) * cos(θ)

В нашем случае θ = 1/2 * ∠ACB, поэтому:

sin(∠AOB) = 2 * sin(1/2 * ∠ACB) * cos(1/2 * ∠ACB)

sin(∠AOB) = 2 * sin(1/2 * ∠ACB) * sqrt(1 - sin^2(1/2 * ∠ACB))

Теперь у нас есть значение sin(∠AOB), и мы можем вычислить сторону AB:

AB = OA * sin(∠AOB)

AB = 42.5 * [2 * sin(1/2 * ∠ACB) * sqrt(1 - sin^2(1/2 * ∠ACB))]

Теперь мы знаем сторону AB. Теперь нам нужно найти сторону BC. Мы уже знаем, что ∠ABC = 90°, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора:

AB^2 + BC^2 = AC^2

(AB)^2 + (BC)^2 = 84^2

Подставляем значение AB, которое мы вычислили выше:

(42.5 * [2 * sin(1/2 * ∠ACB) * sqrt(1 - sin^2(1/2 * ∠ACB))])^2 + (BC)^2 = 84^2

Теперь мы можем решить это уравнение относительно BC. Учтите, что ∠ACB нужно выразить через sin, что может быть сложно. В этом случае лучше использовать численные методы или калькулятор для решения уравнения.