Question

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 10 и 24, а все двугранные углы при основании равны 60∘. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду. Примите π≈3.

Answer 1

Ответ:

144

Объяснение:

проверено интернетуроком

Answer 2

Для нахождения площади поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду, нам нужно сначала найти радиус этого конуса. Затем мы сможем использовать формулу для площади поверхности конуса.

Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник с катетами 10 и 24 и угол при основании 60 градусов, мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины основания пирамиды (базы).

У нас есть правило, что в треугольнике с углом 60 градусов между одним из катетов и гипотенузой, длина гипотенузы в два раза больше длины этого катета. Таким образом, длина гипотенузы (основания пирамиды) составляет 2 * 10 = 20.

Теперь у нас есть размеры основания пирамиды: одна сторона равна 10, а другая 24, а длина основания (гипотенузы) равна 20.

Чтобы найти радиус конуса, вписанного в эту пирамиду, мы можем использовать формулу для радиуса вписанной сферы, так как конус можно рассматривать как вершину сферы. Формула для радиуса вписанной сферы в прямоугольной пирамиде:

r = (a * b * c) / (4 * V),

где:

• a, b и c - длины трех ребер основания пирамиды (в нашем случае 10, 20 и 24),
• V - объем пирамиды.

Объем прямоугольной пирамиды можно найти с помощью формулы:

V = (1/3) * S_base * h,

где:

• S_base - площадь основания пирамиды,
• h - высота пирамиды.

Сначала найдем высоту пирамиды h. Мы знаем, что угол при вершине пирамиды равен 60 градусов, и мы можем разделить пирамиду на два равнобедренных треугольника. Высота пирамиды будет одной из биссектрис этих треугольников. Мы можем найти высоту, используя тригонометрию:

h = (c/2) * tan(60°) = (24/2) * √3 = 12√3.

Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем найти площадь ее основания:

S_base = (1/2) * a * b = (1/2) * 10 * 24 = 120.

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h = (1/3) * 120 * 12√3 = 480√3.

И, наконец, можем найти радиус конуса:

r = (a * b * c) / (4 * V) = (10 * 20 * 24) / (4 * 480√3) = (4800) / (1920√3) = 10 / (4√3) = (10 * √3) / 12 = √3 / 2.

Теперь у нас есть радиус конуса, вписанного в пирамиду. Теперь мы можем найти его площадь поверхности, используя формулу для площади поверхности конуса:

S_cone = π * r * (r + l),

где:

• r - радиус конуса,
• l - образующая конуса.

Образующую конуса можно найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, где один катет равен радиусу конуса, а другой - половине длины основания пирамиды:

l = √(r^2 + (c/2)^2) = √((√3/2)^2 + (20)^2) = √(3/4 + 400) = √(3/4 + 1600/4) = √(1603/4).

Теперь мы можем найти площадь поверхности конуса:

S_cone = π * (√3 / 2) * (√3 / 2 + √(1603/4)) = π * (√3 / 2) * (√3 / 2 + √(1603/4)).

Приближенно подставим значение π ≈ 3:

S_cone ≈ 3 * (√3 / 2) * (√3 / 2 + √(1603/4)) ≈ 3 * (√3 / 2) * (√3 / 2 + √401.75) ≈ 3 * (√3 / 2) * (√3 / 2 + 20.043).

Теперь вычислим это значение:

S_cone ≈ 3 * (√3 / 2) * (1.732 / 2 + 20.043) ≈ 3 * (√3 / 2) * 20.875 ≈ 32.166.

Итак, площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду, примерно равна 32.166 (приближенно до трех десятичных знаков).