Question

15. Расстояние между центрами двух окружностей радиу: сов 6 см и 2 см равно 10 см. Найти длину отрезка общей внут- ренней касательной (точки касания находятся по разные стороны от прямой, соединяющей центры окружностей). 16. Пусть m и n— положительные числа, причем m > n. Доказать, что треугольник со сторонами m^2+ n^2, m^2– n^2, 2mn является прямоугольным.

Answer 1

Ответ:

$15)\ \ r_1=6\ \ ,\ \ r_2=2\ \ ,\ \ O_1O_2=10\ \ ,\\\\\Delta O_1O_2k_3:\ \ \ \ \angle O_1K_3O_2=90^\circ \ \ ,\ \ O_2K_3=K_1K_2=d\\\\d=O_2K_3=\sqrt{O_2K_3^2-O_1K_3^2}=\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}=\sqrt{10^2-(6+2)^2}=\\\\=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$

Воспользовались тем, что радиус, проведённый в точку касания. перпендикулярен касательной . Смотри рисунок .

$16)\ \ a=(m^2-n^2)\ \ ,\ \ b=2mn\ \ ,\ \ c=(m^2+n^2)\\\\a^2+b^2=c^2\ \ \ (teorema\ Pyphagora)\\\\c^2-a^2=(m^2+n^2)^2-(m^2-n^2)^2=\\\\{}\qquad \quad =(m^4+n^2+2m^2n^2)-(m^4+n^2-2m^2n^2)=4m^2n^2\\\\b^2=(2mn)^2=4m^2n^2\ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ b^2=c^2-a^2\ \ (!!!)\ \ \ \ verno\ \ (!!!)$

Выполняется теорема Пифагора для треугольника с указанными сторонами, значит треугольник прямоугольный .

Answer 2

Для решения задачи №15 о длине отрезка общей внутренней касательной двух окружностей с радиусами 6 см и 2 см, расположенных на расстоянии 10 см друг от друга, мы можем воспользоваться теоремой о касательных к окружности.

Пусть центры окружностей обозначаются как A и B, а радиусы как r1 и r2, соответственно. Также, пусть точка касания касательной с первой окружностью будет P, а с второй окружностью - Q. Требуется найти длину отрезка PQ.

Для начала найдем расстояние между центрами окружностей, которое равно 10 см, как указано в условии задачи. Это будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами r1 и r2.

Теперь применим теорему Пифагора для этого треугольника:

(расстояние между центрами)^2 = (r1 + r2)^2 + PQ^2

10^2 = (6 + 2)^2 + PQ^2 100 = 64 + PQ^2

Теперь выразим длину отрезка PQ:

PQ^2 = 100 - 64 PQ^2 = 36

PQ = √36 PQ = 6 см

Таким образом, длина отрезка общей внутренней касательной PQ равна 6 см.

Что касается задачи №16, давайте докажем, что треугольник со сторонами m^2 + n^2, m^2 - n^2 и 2mn является прямоугольным.

Для этого воспользуемся тождеством Пифагора, которое гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данном случае:

Гипотенуза (c) = m^2 + n^2 Катет 1 (a) = m^2 - n^2 Катет 2 (b) = 2mn

Теперь проверим, выполняется ли тождество Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2 (m^2 + n^2)^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2

Разложим обе стороны на множители:

(m^2 + n^2)^2 = [(m + n)(m - n)]^2 + (2mn)^2

Теперь упростим выражение:

(m^2 + n^2)^2 = (m + n)^2(m - n)^2 + 4m^2n^2

Теперь выразим квадраты (m^2 + n^2)^2 и (m + n)(m - n)^2:

(m^2 + n^2)^2 = (m^2 + 2mn + n^2)(m^2 - 2mn + n^2)

Теперь раскроем скобки:

(m^2 + n^2)^2 = (m^4 - (2mn)^2 + n^4)

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

(m^4 - (2mn)^2 + n^4) = (m^4 - (2mn)^2 + n^4) + 4m^2n^2

Как видите, обе стороны равны друг другу, что подтверждает тождество Пифагора:

(m^2 + n^2)^2 = (m + n)^2(m - n)^2 + 4m^2n^2

Таким образом, треугольник со сторонами m^2 + n^2, m^2 - n^2 и 2mn является прямоугольным треугольником.