Question

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 8 см, а диагональ - 12 см. Найдете высоту усеченной пирамиды

Answer 1

Правильная 4-я пирамида - в основании квадрат, боковые ребра равны. Пирамида усечена параллельно основанию. Диагональное сечение данной фигуры - равнобедренная трапеция.

Высота правильной пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания. Центр описанной окружности квадрата - пересечение диагоналей. Диагональное сечение проходит через вершину и диагональ основания, следовательно высота лежит в плоскости сечения. Достаточно найти высоту сечения.

В сантиметрах

Рассмотрим трапецию AA1C1C.

A1C1 =A1B1 √2 =4√2 (диагональ квадрата)

AC =AB √2 = 8√2

Опустим высоту C1H.

AH =(AC +A1C1)/2 =6√2

C1H =√(AC1^2 -AH^2) =√(144-72) =6√2 (см)

Answer 2

Для нахождения высоты усеченной пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами треугольников в пирамиде.

У нас есть правильная четырехугольная усеченная пирамида с основаниями, равными 4 см и 8 см, и диагональю, равной 12 см. Поскольку пирамида правильная, её вершина находится прямо над серединой отрезка, соединяющего центры двух оснований. Таким образом, этот отрезок разбивает пирамиду на два равных треугольника, каждый из которых является прямоугольным.

Мы можем рассмотреть один из таких треугольников. По теореме Пифагора:

$h^2 + (\frac{8}{2})^2 = 12^2$,

$h^2 + 4^2 = 12^2$,

$h^2 + 16 = 144$,

$h^2 = 144 - 16$,

$h^2 = 128$,

$h = \sqrt{128}$,

$h = 8\sqrt{2}$ см.

Таким образом, высота усеченной пирамиды равна $8\sqrt{2}$ см.