Question

Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F(0;-3) и прямой y = - 5. Очень надо, пожалуйста.

Answer 1

По определению заданная кривая - это парабола ветвями вверх, так директриса у = -5 находится ниже фокуса F(0;-3).

Вершина В находится посредине между фокусом и директрисой.

Её координаты: В(0; -4).

Параметр параболы р равен расстоянию от фокуса до директрисы.

р = -3 - (-5) = 2.

Отсюда определяем каноническое уравнение параболы.

x² = 2*2(у - (-4)).

Хотя это не строго каноническое уравнение - надо повернуть оси на 90 градусов вправо и поменять их обозначение, чтобы каноническое уравнение параболы  выглядело так:

у² = 2*2(х - (-4)).

Answer 2

Для нахождения канонического уравнения такой кривой, которая равноудалена от точки F(0;-3) и прямой y = -5, мы можем воспользоваться определением эллипса. Эллипс - это множество точек, сумма расстояний от которых до двух фокусных точек (F1 и F2) одинакова.

В данном случае, одна из фокусных точек F1(0;-3), а прямая y = -5 будет другой фокусной точкой F2(0;-5), так как она параллельна оси x и находится на расстоянии 2 единицы от F1 по вертикали.

Теперь мы можем использовать стандартную формулу эллипса:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

где $a$ - полуось по горизонтали, а $b$ - полуось по вертикали.

В нашем случае $a$ равно расстоянию между F1 и F2, то есть $a = 2$, а $b$ равно расстоянию от центра эллипса до прямой y = -5, что также равно 2 (половина расстояния между F1 и F2).

Таким образом, каноническое уравнение данного эллипса будет:

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1$

Это и есть каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F(0;-3) и прямой y = -5.