Question

В треугольнике АВС угол А равен 120. ВM и CN высоты треугольника. Точка К середина стороны ВСa ) Докажите что треугольник KMN - равностороннийб) Найдите площадь треугольника KMN, если радиус окружности. описанной вокруг треугольника ABC, равен 2корень(3).

Answer 1

а)

Отрезок BC виден из точек M и N под прямым углом - точки M и N лежат на окружности с диаметром BC.

Точка K - середина диаметра - центр окружности.

Найдем ∠BAC как угол между хордами BN и CM

∠BAC =(∪BC+∪MN)/2 => ∪MN =2∠BAC -∪BC =120*2 -180 =60°

KM=KN (радиусы), ∠MKN=∪MN=60 (центральный угол) =>

△KMN - равнобедренный с углом 60 - равносторонний.

б)

Теорема синусов

BC/sin(BAC) =2R => BC =2 *2√3 *√3/2 =6

KM =BC/2 =3

Площадь равностороннего треугольника

S(KMN) =√3/4 KM^2 =9√3/4

Answer 2

Для доказательства, что треугольник KMN равносторонний, давайте рассмотрим следующее:

1. Так как точка K - середина стороны ВС, то отрезок VK является медианой треугольника ABC. Медиана делит треугольник на два равных треугольника. Таким образом, VK равно половине стороны ВС, то есть VK = 0.5 * BC.

2. Рассмотрим треугольники AMN и CNM. У нас есть два прямоугольных треугольника AMN и CNM, так как AM и CN - высоты треугольника ABC, и угол AMN и угол CNM равны 90 градусов.

3. Так как угол А равен 120 градусов, угол MAN также равен 120 градусам (так как M, A и N лежат на одной прямой). То же самое справедливо и для угла С.

4. Теперь рассмотрим треугольники AMN и CNM. У нас есть две пары равных углов (угол АMN и угол CNM равны 90 градусов, а угол MAN и угол СNM равны 120 градусам). Также, AM = CN (высоты треугольника ABC). Это означает, что треугольники AMN и CNM подобны.

5. Поскольку треугольники AMN и CNM подобны и имеют одинаковые отношения сторон, то они равнобедренные. Это означает, что MN = AN = CN.

6. Так как треугольник AMN равнобедренный и угол AMN равен 120 градусам, то он равносторонний. Это означает, что AN = AM = MN = x, где x - длина стороны треугольника KMN.

Таким образом, треугольник KMN равносторонний.

Чтобы найти площадь треугольника KMN, нам нужно знать длину его стороны. Мы уже установили, что сторона треугольника KMN равна x.

Для нахождения x, мы можем воспользоваться радиусом описанной окружности. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен 2√3. Так как сторона KMN равна x, а радиус описанной окружности равен 2√3, то мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:

Площадь треугольника KMN = (x^2 * √3) / 4

Теперь мы можем найти x:

x = 2 * радиус описанной окружности (так как x - сторона KMN, а радиус окружности равен 2√3)

x = 2 * 2√3 = 4√3

Теперь мы можем найти площадь треугольника KMN:

Площадь треугольника KMN = (x^2 * √3) / 4 Площадь треугольника KMN = (4√3^2 * √3) / 4 Площадь треугольника KMN = (48 * √3) / 4 Площадь треугольника KMN = 12√3

Итак, площадь треугольника KMN равна 12√3.