Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину гипотенузы.

Answer 1

Ответ:

c=16

Объяснение:

S=1/2*a*b

1)a/c=cos60°

a/c=1/2 -> a=c/2

2) b/c=sin60°

аналогично b=√(3)*c/2

3)подставляем на формулу площади и получим S=1/2*c/2*√(3)*c/2=32√(3) тут √(3) можно сразу сократить и решив простейшее квадратное уравнение получим с=16

Answer 2

Для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника, в котором один из острых углов равен 60°, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями. Давайте обозначим длину гипотенузы как $c$, а длины катетов как $a$ и $b$, где $a$ - это длина катета, противолежащего углу 60°.

Известно, что площадь прямоугольного треугольника равна:

$S = \frac{1}{2}ab$

Также известно, что один из острых углов равен 60°, что означает, что:

$\frac{a}{c} = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы можем выразить $a$ через $c$:

$a = \frac{\sqrt{3}}{2}c$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}c \cdot b$

Теперь мы знаем, что площадь $S$ равна $32\sqrt{3}$, так что мы можем решить уравнение относительно $b$:

$32\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}c \cdot b$

Теперь делим обе стороны на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для решения уравнения:

$b = \frac{32\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}c}$

Упростим это выражение:

$b = \frac{64\sqrt{3}}{c}$

Теперь у нас есть выражения для обоих катетов, $a$ и $b$, через длину гипотенузы $c$. Мы также знаем, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы в прямоугольном треугольнике:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражения для $a$ и $b$:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2 + \left(\frac{64\sqrt{3}}{c}\right)^2 = c^2$

Теперь решим это уравнение:

$\frac{3}{4}c^2 + \frac{4096}{c^2} = c^2$

Умножим обе стороны на $4c^2$ для избавления от знаменателей:

$3c^4 + 4096 = 4c^4$

Теперь выразим $c^4$:

$c^4 = 4096$

Извлечем корень четвертой степени из обеих сторон:

$c = \sqrt[4]{4096}$

$c = \sqrt[4]{2^12}$

$c = 2^3 = 8$

Итак, длина гипотенузы $c$ равна 8.