Question

Докажите, что четырёхугольник с вершинами A(3;-2) В(4;0) С(2;1) D(1;-1) является прямоугольником.

Answer 1

Сначала найдём координаты середин диагоналей и проверим, пересекаются ли они в одной точке.

Диагональ АС:

х=(3+2)/2=2,5

у=(-2+1)/2=-0,5

Точка (2,5; -0,5)

Диагональ BD:

x=(4+1)/2=2,5

y=(0-1)/2=-0,5

Точка (2,5; -0,5)

Координаты середин двух диагоналей совпадают. ABCD – параллелограмм. Теперь нужно доказать, что он ещё и прямоугольник. Для этого диагонали должны быть равны. Проверим и докажем это.

|АС|=(2-3)²+(1+2)²=1+9=10

|BD|=(1-4)²+(-1-0)²=9+1=10

Диагонали равны. ABCD – прямоугольник, что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что данный четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно убедиться, что его стороны перпендикулярны друг другу и что противоположные стороны равны по длине.

Для начала, найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, используя координаты вершин:

1. Длина стороны AB: AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) AB = √((4 - 3)^2 + (0 - (-2))^2) AB = √(1^2 + 2^2) AB = √(1 + 4) AB = √5

2. Длина стороны BC: BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) BC = √((2 - 4)^2 + (1 - 0)^2) BC = √((-2)^2 + 1^2) BC = √(4 + 1) BC = √5

3. Длина стороны CD: CD = √((x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2) CD = √((1 - 2)^2 + (-1 - 1)^2) CD = √((-1)^2 + (-2)^2) CD = √(1 + 4) CD = √5

4. Длина стороны DA: DA = √((x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2) DA = √((3 - 1)^2 + (-2 - (-1))^2) DA = √(2^2 + (-1 + 2)^2) DA = √(4 + 1) DA = √5

Теперь у нас есть длины всех четырёх сторон, и они равны √5.

Теперь давайте проверим, являются ли стороны AB и CD параллельными, и стороны BC и DA параллельными. Для этого мы можем рассмотреть угловые коэффициенты прямых, проходящих через соответствующие стороны:

Угловой коэффициент прямой AB: k_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (0 - (-2)) / (4 - 3) = 2/1 = 2

Угловой коэффициент прямой CD: k_CD = (y_D - y_C) / (x_D - x_C) = (-1 - 1) / (1 - 2) = (-2)/(-1) = 2

Угловой коэффициент прямой BC: k_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (1 - 0) / (2 - 4) = 1/(-2) = -1/2

Угловой коэффициент прямой DA: k_DA = (y_A - y_D) / (x_A - x_D) = (-2 - (-1)) / (3 - 1) = (-1)/2 = -1/2

Заметим, что угловые коэффициенты прямых AB и CD равны 2, а угловые коэффициенты прямых BC и DA равны -1/2. Таким образом, прямые AB и CD параллельны между собой, и прямые BC и DA также параллельны.

Таким образом, мы видим, что у данного четырёхугольника ABCD все стороны равны по длине (√5), и противоположные стороны параллельны друг другу. Следовательно, четырёхугольник ABCD является прямоугольником.