Question

Вычислите площадь шара вписанного в треугольную пирамиду с ребрами=a (с объяснением пожалуйста)

Answer 1

Ответ:

А можно пожалуйста фото этого задание.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь шара, вписанного в треугольную пирамиду, нам нужно сначала найти радиус этого шара.

Для начала, рассмотрим треугольную пирамиду с ребром $a$. Пусть $O$ — это центр вписанного шара, $A$, $B$ и $C$ — вершины треугольной пирамиды, а $D$, $E$ и $F$ — середины рёбер основания. Таким образом, у нас есть четыре треугольника: $ABC$, $ABO$, $ACO$ и $BCO$.

Поскольку $O$ — центр вписанного шара, $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этого шара, и они равны $r$, где $r$ — радиус шара.

Так как $O$ является вершиной пирамиды, радиус $r$ перпендикулярен к основанию треугольной пирамиды $ABC$. Таким образом, треугольники $OAB$, $OAC$ и $OBC$ — это прямоугольные треугольники с гипотенузой $r$ и катетами $AD/2$, $AE/2$ и $BE/2$ соответственно.

Используем теорему Пифагора в этих треугольниках:

$$\begin{align*} r^2 &= \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \\ &= \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} \\ &= \frac{a^2}{2}. \end{align*}$$

Теперь можем найти радиус $r$:

$$r = \frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Площадь поверхности шара $S$ можно найти с помощью формулы:

$$S = 4\pi r^2.$$

Подставляем значение $r$:

$$S = 4\pi \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2\pi a^2.$$

Итак, площадь поверхности вписанного шара в треугольную пирамиду равна $2\pi a^2$.