Question

Точка А1 лежит на стороне ВС, а точка В1 — на стороне АС треугольника АВС; О — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1, причем АО : ОА1 =ВО : ОВ1 =2:1. Используя векторы, докажите, что АА1 и ВВ1 — медианы треугольника АВС.

Answer 1

Ответ: ответ в прикрепленном файле

Объяснение:

Answer 2

Чтобы доказать, что отрезки AA1 и BB1 являются медианами треугольника ABC с использованием векторов, мы можем воспользоваться следующими свойствами медиан:

1. Медиана проходит через вершину треугольника и делит ее на две равные части.
2. Медиана делит противоположную сторону пополам.

Давайте воспользуемся этими свойствами и начнем с выражения векторов:

Пусть A, B, и C - вершины треугольника ABC, а O - точка пересечения отрезков AA1 и BB1. Также, пусть векторы представляют точки как следующим образом:

A = (xA, yA) B = (xB, yB) C = (xC, yC) O = (xO, yO)

Из условия известно, что AO : A1O = 2 : 1 и BO : B1O = 2 : 1. Это означает, что вектор AO в два раза длиннее вектора A1O и вектор BO в два раза длиннее вектора B1O:

AO = 2 * A1O BO = 2 * B1O

Теперь мы можем выразить векторы A1O и B1O через векторы AO и BO:

A1O = (1/2) * AO B1O = (1/2) * BO

Теперь давайте найдем векторы, соединяющие вершины треугольника:

AB = B - A AC = C - A

Мы знаем, что медиана проходит через вершину A и делит сторону BC пополам. Таким образом, точка M - середина стороны BC:

M = (B + C) / 2

Теперь давайте рассмотрим векторы, связанные с точкой O:

OA = A - O OB = B - O

Теперь мы можем использовать свойство медианы, которое гласит, что медиана проходит через вершину треугольника и делит ее на две равные части. Это означает, что векторы OA и OB должны быть равны по длине и направлению:

OA = OB

Теперь мы можем записать это векторное равенство:

A - O = B - O

Теперь добавим вектор O к обеим сторонам уравнения:

A = B + O

Теперь мы можем выразить вектор O через вершины треугольника:

O = A - B

Теперь мы можем проверить, что точка O делит сторону BC пополам:

M = (B + C) / 2 M = (B + (A - B)) / 2 M = (A + B - B) / 2 M = (A + 0) / 2 M = A / 2

Мы видим, что точка O совпадает с точкой M, которая является серединой стороны BC. Это означает, что отрезок AO делит сторону BC пополам. Аналогично, отрезок BO также делит сторону AC пополам.

Таким образом, мы доказали, что отрезки AA1 и BB1 являются медианами треугольника ABC, так как они проходят через вершины A и B и делят стороны BC и AC пополам соответственно.