Question

У правильну трикутну піраміду вписано кулю. Висота піраміди дорівнює 6 см і утворює кут 30⁰ з апофемою. Знайдіть радікс вписаної в цю піраміду кулю

Answer 1

Ответ:

Если "У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює 6 коренів з 2 см і утворює кут 45 з площиною основи", то высота пирамиды Н равна проекции бокового ребра L на основание/

H = L*cos 45° = 6√2*(1/√2) = 6 см.

Проекция апофемы А на основание равна половине проекции бокового ребра L на основание: (L*cos 45°)/2 = 6/2 = 3 см.

(это на основании свойства правильной треугольной пирамиды).

Теперь можно определить апофему:

А = √(Н² + 3²) = √(36 + 9 ) = √45 = 3√5 см.

Answer 2

Для знаходження радіуса вписаної в трикутну піраміду кулі, спочатку нам потрібно знайти радіус сфери, яка описує цю піраміду, і потім використовувати відомий відношення між радіусами описаної і вписаної кулі.

1. Знайдемо радіус описаної сфери: Позначимо вершину піраміди як A, середину сторони піраміди BC як M, радіус описаної сфери як R, а апофему (відстань від вершини A до центра кола, яке утворює перетин сфери і піраміди) як r.

   За даними, висота піраміди дорівнює 6 см, і вона утворює кут 30 градусів з апофемою. Отже, ми можемо скористатися тригонометричними функціями для обчислення r:

   $\tan(30^\circ) = \frac{r}{6}$

   Розв'язавши це рівняння для r, отримаємо:

   $r = 6 \cdot \tan(30^\circ)$

2. Тепер, коли ми знаємо значення r, ми можемо знайти радіус вписаної кулі. Відомо, що відношення радіусу вписаної кулі (r') до радіусу описаної сфери (R) для правильних трикутних пірамід дорівнює $\frac{r'}{R} = \frac{1}{3}$.

   Таким чином,

   $r' = \frac{1}{3} \cdot R = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \tan(30^\circ)$

   Розрахунок:

   $r' = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Отже, радіус вписаної в цю піраміду кулі дорівнює $\frac{2}{\sqrt{3}}$ см або приблизно 1.155 см (з округленням до трьох знаків після коми).