Question

Дан треугольник АВС с вершинами А (11; -2; - 9) , В(2;6;-4), С (14; 2; -10) а) найдите координаты середины отрезка ВС,б) найдите координаты и модуль вектора ВС,в) найдите вектор АВ + BC;​

Answer 1

Ответ:

a) ( 8; 4; -7) - координаты  середина отрезка ВС.

б) $\vec{BC} (12;-4;-6)$ и его модуль 14.

в)$\vec{AC}$

Объяснение:

По условию задан Δ АВС с вершинами

А( 11; -2; -9), В( 2; 6; -4) и С( 14; 2; -10).

а) надо найти координаты середины отрезка ВС

Чтобы найти координаты середины отрезка, надо соответствующие координаты сложить и разделить на 2.

Пусть точка М (x; y; z) - середина отрезка ВС

$x{_M}= \dfrac{x{_B}+x{_C}}{2} ;\\\\x{_M}=\dfrac{2+14}{2} =\dfrac{16}{2} =8$

$y{_M}= \dfrac{y{_B}+y{_C}}{2} ;\\\\y{_M}=\dfrac{6+2}{2} =\dfrac{8}{2} =4$

$z{_M}= \dfrac{z{_B}+z{_C}}{2} ;\\\\z{_M}=\dfrac{-4+(-10)}{2} =\dfrac{-14}{2} =-7$

Тогда М ( 8; 4; -7) - середина отрезка ВС.

б) найти координаты вектора и модуль вектора ВС.

Чтобы найти координаты вектора, надо от координат конца вычесть координаты начала вектора

$x=14-2=12;\\y=2-6=-4;\\z=-10-(-4)=-10+4=-6$

$\vec{BC} (12;-4;-6)$

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат вектора

$|\vec{BC}|=\sqrt{12^{2}+(-4)^{2} +(-6)^{2} } =\sqrt{144+16+36} =\sqrt{196} =14$

в) найти вектор АВ+ВС.

По правилу треугольника

$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

Координаты вектора

$\vec{AC}(3;4;-1)$

Answer 2

Давайте начнем с поиска координат середины отрезка ВС.

а) Найдем координаты середины отрезка ВС, используя среднее значение координат точек B и C:

Середина отрезка ВС (М) будет иметь следующие координаты:

Мx = (Вx + Сx) / 2 Мy = (Вy + Сy) / 2 Мz = (Вz + Сz) / 2

Где Вx, Вy, Вz - координаты точки В, а Сx, Сy, Сz - координаты точки C:

Мx = (2 + 14) / 2 = 8 Мy = (6 + 2) / 2 = 4 Мz = (-4 - 10) / 2 = -7

Итак, координаты середины отрезка ВС равны (8, 4, -7).

б) Теперь найдем координаты и модуль вектора ВС. Для этого вычислим разницу между координатами точек C и B:

Вектор ВС (в) будет иметь следующие компоненты:

vx = Сx - Вx vy = Сy - Вy vz = Сz - Вz

Где Вx, Вy, Вz - координаты точки В, а Сx, Сy, Сz - координаты точки C:

vx = 14 - 2 = 12 vy = 2 - 6 = -4 vz = -10 - (-4) = -6

Итак, координаты вектора ВС равны (12, -4, -6).

Для вычисления модуля вектора ВС (|v|), используем формулу:

|v| = √(vx^2 + vy^2 + vz^2)

|v| = √(12^2 + (-4)^2 + (-6)^2) |v| = √(144 + 16 + 36) |v| = √196 |v| = 14

Модуль вектора ВС равен 14.

в) Найдем вектор АВ + BC, складывая векторы поэлементно. Вектор АВ был бы разницей координат точек B и A, а вектор BC у нас уже есть (он равен вектору ВС).

Вектор АВ (u) будет иметь следующие компоненты:

ux = Вx - Ax uy = Вy - Ay uz = Вz - Az

Где Вx, Вy, Вz - координаты точки В, а Ax, Ay, Az - координаты точки A:

ux = 2 - 11 = -9 uy = 6 - (-2) = 8 uz = -4 - (-9) = 5

Теперь сложим векторы ВС и АВ поэлементно:

Вектор АВ + BC (w) будет иметь следующие компоненты:

wx = ux + vx wy = uy + vy wz = uz + vz

wx = -9 + 12 = 3 wy = 8 - 4 = 4 wz = 5 - 6 = -1

Итак, вектор АВ + BC имеет компоненты (3, 4, -1).