Question

6. У гострокутних трикутниках ABC i A1,B1,C1, провели висоти AH і А1.Н1.. Доведіть, що коли AB = A1,B1, CH = C1H1, і < CAH = C1A1,Н1 і, то АВС = А1,В1,С1.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано: AB = A1B1, CH=C1H1, <CAH=<C1A1Н1. АН, А1Н1 - высоты.

Доказать: △АВС=△А1В1С1.

Док-во:

Рассмотрим △АСН и △А1С1Н1. Они прямоугольные и у них CH=C1H1 - катеты, <CAH=<C1A1Н1 - острые углы. Значит △АСН=△А1С1Н1 по 4 признаку (по катету и острому углу). => АС=А1С1, АН=А1Н1.

Рассмотрим △АВН и △А1В1Н1. Они прямоугольные и у них АН=А1Н1 - катеты, AB = A1B1 - гипотенузы.  Значит △АВН=△А1В1Н1 по 2 признаку (по катету и гипотенузе). => ВН=В1Н1.

CH=C1H1, ВН=В1Н1, CB=CH+HB, C1B1=C1H1+H1B1 => CB=C1B1.

Таким образом для треугольников △АВС и △А1В1С1 имеем, что AB = A1B1, АС=А1С1, CB=C1B1, значит △АВС=△А1В1С1 по 3му признаку (по 3м сторонам), чтд.

Answer 2

Давайте розглянемо дану ситуацію і доведемо, що коли AB = A1B1, CH = C1H1 і кут CAH = кут C1A1H1, то трикутники ABC і A1B1C1 конгруентні.

Ми вже маємо наступні рівності:

1. AB = A1B1 (дано).
2. CH = C1H1 (дано).
3. Кут CAH = кут C1A1H1 (дано).

Додамо ще одну рівність, щоб довести конгруентність трикутників: 4. AH = A1H1 (висоти, проведені з вершин A і A1).

Тепер ми маємо два трикутники:

Трикутник ABC зі стороною AB, стороною CH і кутом CAH. Трикутник A1B1C1 зі стороною A1B1, стороною C1H1 і кутом C1A1H1.

Ми вже маємо чотири рівності між відповідними елементами цих трикутників (AB = A1B1, CH = C1H1, кут CAH = кут C1A1H1, AH = A1H1). Це є достатньою інформацією для доведення конгруентності трикутників за принципом SSS (сторона-сторона-сторона).

Отже, трикутники ABC і A1B1C1 конгруентні.