Question

В прямоугольных треугольниках ABC и A1B1C1 из вершин прямых углов C и C1 проведены высоты CH и C1H1, CH=C1H1, AH=A1H1. Докажите что треугольники ABC и A1B1C1 равны

Answer 1

Треугольники АНС =С₁Н₁А₁, так как два прямоугольных треугольника равны, если катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

В треугольнике НВС угол НСВ= углу В₁С₁ Н ₁, ( 90 минус равный угол НСА и Н₁С₁А₁)
Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равныи, так как если в прямоугольном треугольнике  катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны  катету  и  прилежащему острому углу другого, то эти треугольники равны;

 катеты НС и Н₁1С₁ и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

АВС=АНС+НАС.
А₁В₁С₁=В₁С₁Н₁+А₁Н₁С₁ 
Отсюда АВС=А₁В₁С₁

Answer 2

Такое прикольное решение :) В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит треугольник на два, ему подобные. Ясно, что треугольники АСН и А1С1Н1 равны (по 2 катетам). Отсюда АС = А1С1. Но ясно так же, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, ибо подобны равным треугольникам. В силу равенства соответствующих катетов, эти треугольнки равны (то есть "коэффициент подобия" равен 1). :))))

Answer 3

Для доказательства равенства треугольников ABC и A1B1C1, нам необходимо использовать данные о высотах и равенстве отрезков.

Равенство высот

По условию задачи, высота CH в треугольнике ABC равна высоте C1H1 в треугольнике A1B1C1, то есть CH = C1H1.

Равенство отрезков

Также, по условию, AH = A1H1.

Равенство углов

Так как у треугольников ABC и A1B1C1 прямые углы C и C1, то у них также будут равные прямые углы.

Теперь мы можем приступить к доказательству равенства треугольников ABC и A1B1C1, используя соответствующие стороны и углы.

Доказательство равенства треугольников

1. Рассмотрим сторону AB треугольника ABC и сторону A1B1 треугольника A1B1C1. У этих сторон общая точка A. 2. Мы знаем, что CH = C1H1 и AH = A1H1. 3. Также, у треугольников ABC и A1B1C1 есть равные прямые углы C и C1. 4. Из этих данных следует, что треугольники ABC и A1B1C1 имеют две равные стороны и равный угол между ними. 5. В соответствии с условием задачи, мы также знаем, что треугольники ABC и A1B1C1 имеют прямые углы C и C1. 6. По теореме о равенстве треугольников у нас есть две равные стороны и равный угол между ними, а также равные прямые углы. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники ABC и A1B1C1 равны на основе данных о равенстве высот, равенстве отрезков и равенстве углов.