Question

678. У гострокутних трикутниках ABC і A B C проведено висоти BD і B'D' відповідно. Доведіть, що ABC= A'B'C' якщо BD=BD, AD=AD, CD=CD.

Answer 1

Ответ:

Якщо АD =A'D', a CD=C'D', то висоти BD та B'D' у цих трикутниках медіани. Якщо медіани рівні, то трикутники рівнобедрені та рівні.

Answer 2

Щоб довести, що трикутники ABC і A'B'C' мають однакові кути, нам потрібно взяти до уваги, що ми маємо справу з гострокутними трикутниками, і ми маємо рівність у довжинах їх висот і сторін.

За умовою маємо:

1. BD = B'D' (Рівність довжин висот)
2. AD = A'D' (Рівність довжин висот)
3. CD = C'D' (Рівність довжин висот)

Зараз давайте розглянемо кути цих трикутників:

Позначимо кути так: ∠BAC, ∠B'AC', ∠ABC, і ∠A'B'C'. Ми хочемо показати, що ці кути однакові.

Розглянемо трикутник ABC:

У гострокутному трикутнику, висоти є перпендикулярами до сторін, на які вони опущені. Тому ми знаємо, що ∠ABD = ∠A'BD' і ∠BCD = ∠B'CD'.

Тепер ми також знаємо, що ∠BAC = ∠B'AC' (оскільки це гострокутні трикутники і ∠BAC - це кут між стороною AC і відповідною висотою BD, а ∠B'AC' - кут між стороною AC і відповідною висотою B'D').

Зараз ми можемо скористатися тим, що сума кутів в кожному трикутнику дорівнює 180 градусів. Тобто:

∠ABD + ∠BAC + ∠BCD = 180 градусів (трикутник ABC) ∠A'BD' + ∠B'AC' + ∠B'CD' = 180 градусів (трикутник A'B'C')

Але ми вже показали, що ∠ABD = ∠A'BD', ∠BAC = ∠B'AC', і ∠BCD = ∠B'CD', тому:

∠A'BD' + ∠B'AC' + ∠B'CD' = 180 градусів (трикутник A'B'C')

Це означає, що трикутники ABC і A'B'C' мають однакові кути, тобто вони подібні.