Question

Если стороны треугольника равны 6 и 6√2, то радиус описанной окружности равен 3√2. Найдите углы треугольника. 50 БАЛЛОВ

Answer 1

Теорема синусов

a/sinA =2R

6/sinA =2*3√2 => sinA =1/√2 => A=45°

6√2/sinB =2*3√2 => sinB =1 => B=90°

C =180-90-45 =45°

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться фактом, что радиус описанной окружности треугольника равен половине произведения стороны треугольника на синус угла, противоположного этой стороне. То есть, если стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$, а радиус описанной окружности равен $R$, то:

$R = \frac{abc}{4S},$

где $S$ - площадь треугольника.

Для нашего случая у нас есть две стороны $a = 6$ и $b = 6\sqrt{2}$, и радиус описанной окружности $R = 3\sqrt{2}$. Подставим эти значения в формулу:

$3\sqrt{2} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot c}{4S}.$

Упростим выражение:

$3\sqrt{2} = \frac{36\sqrt{2}c}{4S}.$

Далее, сократим числитель и знаменатель на 4:

$3\sqrt{2} = 9c.$

Теперь решим уравнение относительно $c$:

$c = \frac{3\sqrt{2}}{9} = \frac{\sqrt{2}}{3}.$

Теперь у нас есть все три стороны треугольника:

$a = 6, \quad b = 6\sqrt{2}, \quad c = \frac{\sqrt{2}}{3}.$

Далее, мы можем использовать законы тригонометрии, чтобы найти углы треугольника. Например, используем синус-правило:

$\sin A = \frac{a}{2R} = \frac{6}{2 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Отсюда следует, что $A = 45^\circ$.

Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, мы можем найти оставшиеся два угла:

$B + C = 180 - A = 180 - 45 = 135.$

Так как $B$ и $C$ равны между собой (по условию), мы можем поделить $135$ на $2$ и получим, что $B = C = 67.5^\circ$.

Итак, углы треугольника равны $A = 45^\circ$, $B = 67.5^\circ$ и $C = 67.5^\circ$.