Question

Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от центра окружности до точки их пересечения равно расстоянию между серединами этих хорд, даю 25 баллов

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Пусть АВ и CD - хорды, перпендикулярные друг к другу, пересекающиеся в точке Р. Точки M и N - середины хорд АВ и CD.

Проведём радиусы ОМ1 и ОN1 через эти точки M и N. Эти радиусы будут перпендикулярны хордам АВ и CD соответственно по свойству хорды и радиуса (ну или доказывается через равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными радиусу и медианой, проведённой к основанию - она же будет высотой).

Значит <OMP=<ONP=90°, при этом <MPN=90° по условию. Значит в четырёхугольнике OMPN оставшийся 4й угол <MON также равен 90° => OMPN - прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны, значит OP=MN, чтд.

Answer 2

Давайте обозначим хорды как AB и CD, где AB и CD взаимно перпендикулярны. Пусть M - середина хорды AB, а N - середина хорды CD. Определим O как центр окружности.

Для доказательства равенства расстояний, докажем, что треугольники MON и MOB (или MOC, так как оба треугольника равны) подобны. Если мы докажем подобие этих треугольников, мы сможем использовать пропорции сторон, чтобы доказать равенство расстояний.

1. Треугольник MOB (или MOC) подобен треугольнику MON по угловой стороне, так как обе хорды AB и CD перпендикулярны и проходят через центр окружности. Это означает, что угол MOB (или MOC) равен углу MON.

2. Также, у нас есть две равные стороны: MO - общая для обоих треугольников (поскольку это расстояние от центра окружности до точки их пересечения), и MO (или MOB, MOC), которая является радиусом окружности.

Из этих двух фактов мы можем заключить, что треугольники MON и MOB (или MOC) подобны. Теперь мы можем использовать пропорции сторон, чтобы доказать равенство расстояний.

Обозначим расстояние от центра O до точки пересечения хорды как r (радиус окружности). Тогда:

MO / MN = MOB (или MOC) / MON

Подставляя известные значения, получаем:

r / MN = r / MO

Теперь мы видим, что r находится в обоих частях уравнения и может быть сокращен. Получаем:

1 / MN = 1 / MO

Теперь мы можем переставить части уравнения:

MN / 1 = MO / 1

Это доказывает, что MN (расстояние между серединами хорды) равно MO (расстояние от центра окружности до точки их пересечения). Таким образом, равенство расстояний доказано, и вы получаете 25 баллов.