Question

В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3 корень из 2. На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L. а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.

Answer 1

Пусть B1 - Начало координат

Ось X  - B1C1

Ось Y - B1A1

Ось Z - B1B

Координаты точек

K ( 4;0;3√2)

L ( 6;5;0)

A (0;6;3√2)

C1 ( 6;0;0)

Вектор

AC1 ( 6;-6;-3√2)

BD  (6;6;0)

Уравнение плоскости y

ax+by+cz+d = 0

Плоскость содержит точки K и L

4a+3√2c+d=0

6a+5b + d =0

Условие параллельности прямой BD

6a+6b =0

Пусть d= 1 Тогда a= -1 b =1 c= 1/√2

Уравнение плоскости y

-x+y+z/√2+1=0

Нормальное уравнение

k= √(1+1+1/2) = √(5/2)

-x / k + y / k + z / (√2k) + √10/5 =0

Нормальный  вектор плоскости y

N(-1;1;1/√2)  или N (6;-6;-3√2)

a)  плоскость y перпендикулярна AC1 - так как нормальный вектор к плоскости N совпадает с АС1

б) Расстояние от начала координат B1(0;0;0) до плоскости y равно √10/5 - свободному члену в нормальном ее уравнении.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами фигуры. Для начала рассмотрим плоскость γ. Эта плоскость параллельна прямой BD и содержит точки K и L.

а) Докажем, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.

Известно, что AC1 - это высота призмы от вершины A1. Так как плоскость γ содержит точку K на ребре BC и точку L на ребре C1D1, она также содержит отрезок KL, который параллелен BD. Таким образом, KL || BD.

Рассмотрим треугольники AKL и AB1D (где B1 - вершина призмы противолежащая вершине A1):

• В треугольнике AKL угол KAL прямой (так как KL || BD и BD перпендикулярна плоскости призмы, следовательно, KAL = 90 градусов).
• Также в треугольнике AB1D угол BAD прямой (поскольку AB1 и AD1 - это боковые рёбра призмы).

Следовательно, угол BAD = угол KAL = 90 градусов. Это означает, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.

б) Чтобы найти расстояние от точки B1 до плоскости γ, нам нужно найти перпендикуляр от B1 к плоскости γ.

Поскольку AC1 перпендикулярна плоскости γ, мы можем использовать её как линию пересечения для поиска перпендикуляра. Таким образом, нам нужно найти точку пересечения прямой B1B с прямой AC1.

Известно, что сторона АВ основания призмы равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3√2. Поэтому AB1 = 6 - 3√2.

Теперь рассмотрим треугольник AB1C1. Мы знаем, что BC1L = 5 и B1C1 || AC1 (по свойству призмы). Поэтому треугольник AB1C1 подобен треугольнику AKL.

Используя подобие треугольников, можно записать:

(B1C1) / (AB1) = (C1L) / (KL)

(B1C1) / (6 - 3√2) = 5 / KL

Теперь нам нужно найти KL. Так как KL || BD, и KL принадлежит плоскости γ, то KL перпендикулярен BD.

Таким образом, B1C1 = 5 * (6 - 3√2) / KL

KL = 5 * (6 - 3√2) / B1C1

Теперь, чтобы найти расстояние от B1 до плоскости γ, нам нужно найти KL.

KL = 5 * (6 - 3√2) / B1C1

Теперь можно подставить значение B1C1:

KL = 5 * (6 - 3√2) / (6 - 3√2) = 5

Таким образом, расстояние от точки B1 до плоскости γ равно 5.