Question

Найдите косинус угла В треугольника АВС, если А(2;-4;2), В(3;-3;3), С(4;0;1)

Answer 1

Найдите косинус угла В треугольника АВС, если А(2;-4;2), В(3;-3;3), С(4;0;1)

1 способ. Векторный (*).

Координаты вектора ВА( -1;-1 ;-1) , вектора ВС(1; 3;-2).

Длины векторов |BA|=√((-1)²+(-1)²+(-1)²)=√3,   |BC|=√(1²+3³+(-2)²)=√14  .

cos B= $\frac{-1*1+(-1)*3+(-1)*(-2)}{\sqrt{3}*\sqrt{14} } =\frac{-2}{\sqrt{42} } =\frac{-\sqrt{42} }{21}$ .

2 cпособ. По т. косинусов (**).

Для ΔАВС применим т. косинусов:   АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cosВ.

Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками (***)    АВ=√( (3-2)²+(-3+4)²+(3-2)² )=√(1+1+1)=√3,

АС=√(2²+4²+(-1)²)=√21,       ВС=√(1²+3²+(-2)²)=√14.

Тогда     √21²=√3²+√14²-2*√3*√14*cosВ,

cosВ =$\frac{3+14-21}{2\sqrt{42} }$ = $\frac{-4}{2\sqrt{42} }$= $\frac{-\sqrt{42} }{21}$  .

===================================  

(*)Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.

(**)Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

(***)d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²+ (z₁-z₂)²),  где (х₁;у₁; z₁),  (х₂;у₂; z₂) -координаты концов отрезка.

Answer 2

Чтобы найти косинус угла B в треугольнике ABC, можно использовать скалярное произведение векторов и следующую формулу:

cos(B) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|)

Где AB - вектор, направленный от точки A к точке B, BC - вектор, направленный от точки B к точке C, |AB| - длина вектора AB, |BC| - длина вектора BC.

Сначала найдем векторы AB и BC:

AB = B - A = (3 - 2, -3 - (-4), 3 - 2) = (1, 1, 1) BC = C - B = (4 - 3, 0 - (-3), 1 - 3) = (1, 3, -2)

Теперь найдем длины этих векторов:

|AB| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3 |BC| = √(1^2 + 3^2 + (-2)^2) = √14

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и BC:

AB · BC = (1 * 1) + (1 * 3) + (1 * (-2)) = 1 + 3 - 2 = 2

Теперь мы можем найти косинус угла B:

cos(B) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|) = 2 / (√3 * √14) = 2 / (√(3 * 14)) = 2 / √42

Косинус угла B в треугольнике ABC равен 2 / √42. Это можно упростить, разделив числитель и знаменатель на 2:

cos(B) = 1 / √42